Question

Para cada entero positivo $m \gt 1,$ sea $P(m)$ el mayor factor primo de $m.$ ¿Para cuántos enteros positivos $n$ se cumple que a la vez $P(n) = \sqrt{n}$ y $P(n + 48) = \sqrt{n + 48}$ ?

For each positive integer $m \gt 1,$ let $P(m)$ denote the greatest prime factor of $m.$ For how many positive integers $n$ is it true that both $P(n) = \sqrt{n}$ and $P(n + 48) = \sqrt{n + 48}?$

$0$

$1$

$3$

$4$

$5$

Solución:

La condición $P(n) = \sqrt{n}$ significa que $n$ es el cuadrado de un primo $q,$ y de igual modo $n + 48 = p^2$ para un primo $p.$ Entonces $48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q).$ Al revisar las factorizaciones de igual paridad de $48,$ solo $p - q = 2,\ p + q = 24$ da primos, lo que produce $(p, q) = (13, 11)$ y $n = 121.$ Por lo tanto, existe exactamente un $n$ de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The condition $P(n) = \sqrt{n}$ means $n$ is the square of a prime $q,$ and likewise $n + 48 = p^2$ for a prime $p.$ Then $48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q).$ Checking the same-parity factorizations of $48,$ only $p - q = 2,\ p + q = 24$ yields primes, giving $(p, q) = (13, 11)$ and $n = 121.$ So there is exactly one such $n.$

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años