Question

Una abeja se mueve en el espacio tridimensional. Se lanza un dado justo de seis caras con caras etiquetadas $A^+, A^-, B^+, B^-, C^+,$ y $C^-$ . Supón que la abeja ocupa el punto $(a, b, c).$ Si el dado muestra $A^+,$ entonces la abeja se mueve al punto $(a + 1, b, c),$ y si el dado muestra $A^-,$ entonces la abeja se mueve al punto $(a - 1, b, c).$ Se hacen movimientos análogos con los otros cuatro resultados.

Supón que la abeja parte del punto $(0, 0, 0)$ y el dado se lanza cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la abeja recorra cuatro aristas distintas de algún cubo unitario?

A bee is moving in three-dimensional space. A fair six-sided die with faces labeled $A^+, A^-, B^+, B^-, C^+,$ and $C^-$ is rolled. Suppose the bee occupies the point $(a, b, c).$ If the die shows $A^+,$ then the bee moves to the point $(a + 1, b, c),$ and if the die shows $A^-,$ then the bee moves to the point $(a - 1, b, c).$ Analogous moves are made with the other four outcomes.

Suppose the bee starts at the point $(0, 0, 0)$ and the die is rolled four times. What is the probability that the bee traverses four distinct edges of some unit cube?

$\dfrac{1}{54}$

$\dfrac{7}{54}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{2}{5}$

Solución:

Cada lanzamiento mueve a la abeja una unidad a lo largo de $\pm x, \pm y$ , o $\pm z$ , así que hay $6^4 = 1296$ secuencias igualmente probables. Hay dos tipos de caminos válidos. Un camino alrededor de una cara cuadrada tiene $3$ opciones de plano coordenado, $4$ opciones de signo, y $2$ opciones para la primera dirección, dando $24$ . En caso contrario se usan las tres direcciones coordenadas, con una repetida: elige esa dirección de $3$ maneras, sus dos posiciones no adyacentes de $3$ maneras, el orden de las otras direcciones de $2$ maneras, y los signos de $8$ maneras. Esto da $3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 8 = 144$ . Por lo tanto hay $24+144=168$ secuencias favorables, y la probabilidad es $\tfrac{168}{1296} = \tfrac{7}{54}$ . Por lo tanto, la respuesta es B.

Every roll moves the bee one unit along $\pm x, \pm y$ , or $\pm z$ , so there are $6^4 = 1296$ equally likely sequences. There are two types of valid paths. A path around one square face has $3$ choices of coordinate plane, $4$ sign choices, and $2$ choices for the first direction, giving $24$ . Otherwise all three coordinate directions are used, with one repeated: choose that direction in $3$ ways, its two nonadjacent positions in $3$ ways, the order of the other directions in $2$ ways, and signs in $8$ ways. This gives $3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 8 = 144$ . Hence there are $24+144=168$ favorable sequences, and the probability is $\tfrac{168}{1296} = \tfrac{7}{54}$ . Therefore, the answer is B.

2024 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años