Question

La figura de abajo muestra una cuadrícula de puntos de $8$ celdas de ancho y $3$ celdas de alto formada por cuadrados de $1'' \times 1''$ . Carl coloca palillos de $1$ pulgada a lo largo de algunos de los lados de los cuadrados para crear un lazo cerrado que no se interseca a sí mismo. Los números en las celdas indican cuántos lados de ese cuadrado deben quedar cubiertos por palillos, y se permite cualquier cantidad de palillos si no hay número escrito. ¿De cuántas maneras puede Carl colocar los palillos?

The figure below shows a dotted grid $8$ cells wide and $3$ cells tall consisting of $1'' \times 1''$ squares. Carl places $1$ -inch toothpicks along some of the sides of the squares to create a closed loop that does not intersect itself. The numbers in the cells indicate the number of sides of that square that are to be covered by toothpicks, and any number of toothpicks are allowed if no number is written. In how many ways can Carl place the toothpicks?

$130$

$144$

$146$

$162$

$196$

Solución:

Etiqueta cada cuadrado unitario como “interior” o “exterior” al lazo, contando el exterior de la cuadrícula como exterior. El lazo es entonces exactamente el conjunto de aristas unitarias que separan un cuadrado interior de uno exterior. El número de un cuadrado cuenta cuántos de sus cuatro vecinos (izquierda, derecha, arriba, abajo, siendo un vecino ausente el exterior) son de tipo opuesto. Así que el requisito es que cada cuadrado de la fila central tenga exactamente un vecino de tipo opuesto. Enumera las etiquetaciones interior/exterior cuya frontera es un único lazo cerrado que no se interseca a sí mismo y que cumplen esta condición de la fila central: hay $146$ de ellas. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Label each unit square "inside" or "outside" the loop, counting the grid's exterior as outside. The loop is then exactly the set of unit edges that separate an inside square from an outside one. A square's number counts how many of its four neighbors (left, right, up, down, with a missing neighbor being the outside exterior) are of the opposite type. So the requirement is that every middle-row square has exactly one opposite-type neighbor. Enumerate the inside/outside labelings whose boundary is a single non-self-intersecting closed loop and that meet this middle-row condition: there are $146$ of them. Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años