Question

¿Cuántos números distintos de cuatro dígitos son divisibles por $3$ y tienen $23$ como sus dos últimos dígitos?

How many distinct four-digit numbers are divisible by $3$ and have $23$ as their last two digits?

$27$

$30$

$33$

$81$

$90$

Solución:

Escribe el número como $\overline{ab23}.$ Es divisible por $3$ cuando $a+b+2+3=a+b+5$ es divisible por $3,$ es decir, cuando $a+b\equiv 1 \pmod 3.$

El prefijo de dos dígitos $\overline{ab}$ recorre los $90$ valores de $10$ a $99,$ y exactamente un tercio de ellos cumple esto, lo que da $\dfrac{90}{3}=30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write the number as $\overline{ab23}.$ It is divisible by $3$ when $a+b+2+3=a+b+5$ is divisible by $3,$ that is, when $a+b\equiv 1 \pmod 3.$

The two-digit prefix $\overline{ab}$ ranges over the $90$ values from $10$ to $99,$ and exactly one third of them satisfy this, giving $\dfrac{90}{3}=30.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años