Question

Una mesa redonda tiene radio $4.$ Sobre la mesa se colocan seis manteles individuales rectangulares. Cada mantel tiene ancho $1$ y largo $x$ como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de longitud $x.$ Además, los manteles se colocan de modo que cada esquina interior toque una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale $x$ ?

A round table has radius $4.$ Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width $1$ and length $x$ as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being end points of the same side of length $x.$ Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is $x?$

$2\sqrt{5} - \sqrt{3}$

$3$

$\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}$

Solución:

Toma un mantel con esquinas exteriores $P$ y $Q,$ y sea $R$ el punto de la circunferencia diametralmente opuesto a $P.$ Entonces $\triangle PQR$ es rectángulo en $Q$ con hipotenusa $PR = 8.$

Las esquinas interiores de manteles adyacentes se encuentran en triángulos isósceles con ángulo en el vértice de $120^\circ$ y lados $x,$ cuya base es $\sqrt{3}\,x.$ Junto con los dos anchos de mantel, $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

Por el teorema de Pitágoras, $\left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 + x^2 = 64,$ que se simplifica a $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Tomando la raíz positiva, $x = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Pick a mat with outer corners $P$ and $Q,$ and let $R$ be the point on the circle diametrically opposite $P.$ Then $\triangle PQR$ is right-angled at $Q$ with hypotenuse $PR = 8.$

The inner corners of adjacent mats meet in isosceles triangles with vertex angle $120^\circ$ and sides $x,$ whose base is $\sqrt{3}\,x.$ Together with the two mat widths, $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

By the Pythagorean theorem, $\left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 + x^2 = 64,$ which simplifies to $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Taking the positive root, $x = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años