Question

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $50,$ inclusive, es $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$ un entero? (Recuerda que $0! = 1.$ )

For how many integers $n$ between $1$ and $50,$ inclusive, is $\dfrac{(n^2-1)!}{(n!)^n}$ an integer? (Recall that $0! = 1.$ )

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Solución:

Un hecho que ayuda mucho en este problema es notar que $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ siempre es un entero.

Esto se debe a que es el número de maneras de dividir $n^2$ objetos en $n$ grupos no ordenados de tamaño $n.$

Ahora, obtenemos que $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Por lo tanto, siempre que $n^2$ divida a $n!,$ la expresión original es un entero; esto equivale a que $n$ divida a $(n - 1)!.$

Si $n$ es compuesto, mayor que $1,$ y $n\ne4,$ entonces $n\mid(n-1)!,$ así que todos esos $n$ funcionan. El caso $n=1$ también funciona directamente.

Recíprocamente, si $n=p$ es primo, el exponente de $p$ en el denominador es $p,$ mientras que su exponente en $(p^2-1)!$ es $p-1,$ así que la expresión no es un entero.

Para $n=4,$ el denominador contiene $2^{12},$ mientras que $15!$ solo contiene $2^{11},$ así que este caso también falla.

Hay $15$ primos que son a lo sumo $50,$ y sumando $4,$ obtenemos $16$ valores de $n$ que no funcionan.

Por lo tanto, la respuesta buscada es $50 - 16 = 34.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

One fact that greatly helps with this problem is realizing that $\dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}}$ is always an integer.

This is because it is the number of ways to split up $n^2$ objects into $n$ unordered groups of size $n.$

Now, we get that $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n} = \dfrac{(n^2)!}{(n!)^{n + 1}} \cdot \dfrac{n!}{n^2}.$

Therefore, whenever $n^2$ divides $n!,$ the original expression is an integer; this is equivalent to $n$ dividing $(n - 1)!.$

If $n$ is composite, greater than $1,$ and $n\ne4,$ then $n\mid(n-1)!,$ so all such $n$ work. The case $n=1$ also works directly.

Conversely, if $n=p$ is prime, the exponent of $p$ in the denominator is $p,$ while its exponent in $(p^2-1)!$ is $p-1,$ so the expression is not an integer.

For $n=4,$ the denominator contains $2^{12},$ while $15!$ contains only $2^{11},$ so this case also fails.

There are $15$ primes at most $50,$ and adding $4,$ we get $16$ values for $n$ that do not work.

Therefore, the desired answer is $50 - 16 = 34.$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años