Question

Jason lanza tres dados justos estándar de seis caras. Luego mira los resultados y elige un subconjunto de los dados (posiblemente vacío, posiblemente los tres) para volver a lanzar. Después de volver a lanzar, gana si y solo si la suma de los números que quedan hacia arriba en los tres dados es exactamente $7.$ Jason siempre juega para optimizar sus probabilidades de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que elija volver a lanzar exactamente dos de los dados?

Jason rolls three fair standard six-sided dice. Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly empty, possibly all three dice) to reroll. After rerolling, he wins if and only if the sum of the numbers face up on the three dice is exactly $7.$ Jason always plays to optimize his chances of winning. What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?

$\displaystyle \frac{7}{36}$

$\displaystyle \frac{5}{24}$

$\displaystyle \frac{2}{9}$

$\displaystyle \frac{17}{22}$

$\displaystyle \frac{1}{4}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para cualquier resultado inicial, Jason compara las mejores probabilidades de volver a lanzar $0,1,2$ o $3$ dados. Volver a lanzar los tres dados tiene probabilidad $15/216=5/72$ . Volver a lanzar un dado tiene probabilidad $1/6$ siempre que algún par de dados conservados tenga suma a lo sumo $6$ .

Si vuelve a lanzar exactamente dos dados, conserva un dado. Conservar un dado que muestra $1,2,3,4,5,6$ da probabilidades $5,4,3,2,1,0$ sobre $36$ , respectivamente. Esto puede ser óptimo solo cuando los dos dados menores suman al menos $7$ y el dado menor es $1,2,$ o $3$ .

Los resultados ordenados que cumplen esto son $(1,6,6)$ , $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ , y $(3,4,4),$ $(3,4,5),$ $(3,4,6),$ $(3,5,5),$ $(3,5,6),$ $(3,6,6)$ . Al contar las permutaciones se obtienen $3+12+27=42$ resultados de $216$ , así que la probabilidad es $42/216=7/36$ . Así, A es la respuesta correcta.

For any initial roll, Jason compares the best probabilities from rerolling $0,1,2,$ or $3$ dice. Rerolling all three dice has probability $15/216=5/72$ . Rerolling one die has probability $1/6$ whenever some pair of kept dice has sum at most $6$ .

If he rerolls exactly two dice, he keeps one die. Keeping a die showing $1,2,3,4,5,6$ gives probabilities $5,4,3,2,1,0$ out of $36$ , respectively. This can be optimal only when the two smallest dice sum at least $7$ and the smallest die is $1,2,$ or $3$ .

The sorted rolls satisfying this are $(1,6,6)$ , $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ , and $(3,4,4),$ $(3,4,5),$ $(3,4,6),$ $(3,5,5),$ $(3,5,6),$ $(3,6,6)$ . Counting permutations gives $3+12+27=42$ rolls out of $216$ , so the probability is $42/216=7/36$ . Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años