Question

Michael camina a razón de $5$ pies por segundo por un camino largo y recto. Hay botes de basura ubicados cada $200$ pies a lo largo del camino. Un camión de basura viaja a $10$ pies por segundo en la misma dirección que Michael y se detiene $30$ segundos en cada bote. Cuando Michael pasa por un bote, nota que el camión, delante de él, acaba de salir del siguiente bote. ¿Cuántas veces se encontrarán Michael y el camión?

Michael walks at the rate of $5$ feet per second on a long straight path. Trash pails are located every $200$ feet along the path. A garbage truck travels at $10$ feet per second in the same direction as Michael and stops for $30$ seconds at each pail. As Michael passes a pail, he notices the truck ahead of him just leaving the next pail. How many times will Michael and the truck meet?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

Numera los botes de modo que Michael esté en el bote $0$ y el camión en el bote $1.$ Michael llega al bote $n$ a los $40n$ segundos. El camión sale del bote $n$ a los $50(n-1)$ segundos y llega allí a los $50(n-1)-30$ segundos.

Michael y el camión están juntos en el bote $n$ cuando $50(n-1)-30\le 40n$ $\le 50(n-1),$ lo que se simplifica a $5\le n\le 8.$

En el bote $5$ se encuentran cuando el camión parte, en los botes $6$ y $7$ Michael lo pasa, y en el bote $8$ se encuentran cuando el camión llega. Entre los botes $6$ y $7$ el camión debe adelantar a Michael una vez más, así que en total se encuentran $5$ veces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Number the pails so Michael is at pail $0$ and the truck at pail $1.$ Michael reaches pail $n$ at $40n$ seconds. The truck leaves pail $n$ at $50(n-1)$ seconds and arrives there at $50(n-1)-30$ seconds.

Michael and the truck are together at pail $n$ when $50(n-1)-30\le 40n$ $\le 50(n-1),$ which simplifies to $5\le n\le 8.$

At pail $5$ they meet as the truck departs, at pails $6$ and $7$ Michael passes it, and at pail $8$ they meet as the truck arrives. Between pails $6$ and $7$ the truck must overtake Michael once more, so in total they meet $5$ times.

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años