Question

Un insecto viaja de A a B a lo largo de los segmentos de la retícula hexagonal que se muestra abajo. Los segmentos marcados con una flecha solo pueden recorrerse en la dirección de la flecha, y el insecto nunca recorre el mismo segmento más de una vez. ¿Cuántos caminos diferentes hay?

A bug travels from A to B along the segments in the hexagonal lattice pictured below. The segments marked with an arrow can be traveled only in the direction of the arrow, and the bug never travels the same segment more than once. How many different paths are there?

$2112$

$2304$

$2368$

$2384$

$2400$

Solución:

Clasifica un camino según el conjunto $S$ de flechas hacia atrás que usa. Si $S=\varnothing$ , el camino queda determinado al elegir una flecha hacia adelante en cada columna, lo que da $2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\cdot2=2^{10}$ caminos.

Si $S$ usa solo la flecha hacia atrás izquierda, hay $2^8$ caminos, y por simetría lo mismo si usa solo la derecha. Si usa ambas flechas exteriores hacia atrás pero no la del medio, hay $2^6$ caminos.

Si $S$ usa solo la flecha hacia atrás del medio, hay $2^9$ caminos. Si usa la flecha del medio y exactamente una flecha exterior hacia atrás, hay $2^7$ caminos por cada elección de flecha exterior. Si usa las tres flechas hacia atrás, hay $2^5$ caminos.

El total es $2^{10}$ $+2\cdot2^8$ $+2^6$ $+2^9$ $+2\cdot2^7$ $+2^5=2400$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Classify a path by the set $S$ of backward arrows it uses. If $S=\varnothing$ , the path is determined by choosing one forward arrow in each column, giving $2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\cdot2=2^{10}$ paths.

If $S$ uses only the left backward arrow, there are $2^8$ paths, and by symmetry the same for only the right backward arrow. If it uses both outer backward arrows but not the middle one, there are $2^6$ paths.

If $S$ uses only the middle backward arrow, there are $2^9$ paths. If it uses the middle arrow and exactly one outer backward arrow, there are $2^7$ paths for each choice of outer arrow. If it uses all three backward arrows, there are $2^5$ paths.

The total is $2^{10}$ $+2\cdot2^8$ $+2^6$ $+2^9$ $+2\cdot2^7$ $+2^5=2400$ .

Thus, E is the correct answer.

2012 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años