Question

Sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ ¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación $x^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x$ ?

Let $\lfloor x \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ How many real numbers $x$ satisfy the equation $x^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x?$

$197$

$198$

$199$

$200$

$201$

Solución:

Sea $a = \lfloor x \rfloor.$ La ecuación se lee $x^2 = 10{,}000(x - a)$ $= 10{,}000\{x\},$ y como $0 \le \{x\} < 1,$ esto obliga a $0 \le x^2 < 10{,}000,$ así que $-100 < x < 100.$ En cada intervalo $[a, a + 1)$ la cantidad $10{,}000x - x^2$ crece desde $10{,}000a - a^2$ y se aproxima, sin alcanzarlo, a $10{,}000(a+1) - (a+1)^2.$ Alcanza $10{,}000a$ exactamente una vez precisamente cuando $(a + 1)^2 < 10{,}000.$ Eso se cumple para los enteros $-100 \le a \le 98,$ que son $199$ soluciones. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $a = \lfloor x \rfloor.$ The equation reads $x^2 = 10{,}000(x - a)$ $= 10{,}000\{x\},$ and since $0 \le \{x\} < 1,$ this forces $0 \le x^2 < 10{,}000,$ so $-100 < x < 100.$ On each interval $[a, a + 1)$ the quantity $10{,}000x - x^2$ increases from $10{,}000a - a^2$ and approaches, but does not reach, $10{,}000(a+1) - (a+1)^2.$ It hits $10{,}000a$ exactly once precisely when $(a + 1)^2 < 10{,}000.$ That holds for the integers $-100 \le a \le 98,$ which is $199$ solutions. Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años