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2018 AMC 10B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2018 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Sea ⌊x⌋\lfloor x \rfloor el mayor entero menor o igual que x.x. ¿Cuántos números reales xx satisfacen la ecuación x2+10,000⌊x⌋=10,000xx^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x?
Let ⌊x⌋\lfloor x \rfloor denote the greatest integer less than or equal to x.x. How many real numbers xx satisfy the equation x2+10,000⌊x⌋=10,000x?x^2 + 10{,}000\lfloor x \rfloor = 10{,}000x?
197197
198198
199199
200200
201201
Respuesta: C
Conceptos:funciones piso y techoconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Escribiendo {x}=x−⌊x⌋,\{x\} = x - \lfloor x \rfloor, la ecuación es x2=10,000{x},x^2 = 10{,}000\{x\}, así que 0≤x2<10,0000 \le x^2 < 10{,}000.
Writing {x}=x−⌊x⌋,\{x\} = x - \lfloor x \rfloor, the equation is x2=10,000{x},x^2 = 10{,}000\{x\}, so 0≤x2<10,0000 \le x^2 < 10{,}000
Pista grande:
En cada intervalo [a,a+1)[a, a+1) hay una solución exactamente cuando (a+1)2<10,000(a + 1)^2 \lt 10{,}000.
On each interval [a,a+1)[a, a+1) there is a solution exactly when (a+1)2<10,000(a + 1)^2 \lt 10{,}000
Solución:
Sea a=⌊x⌋.a = \lfloor x \rfloor. La ecuación se lee x2=10,000(x−a)x^2 = 10{,}000(x - a) =10,000{x},= 10{,}000\{x\}, y como 0≤{x}<1,0 \le \{x\} < 1, esto obliga a 0≤x2<10,000,0 \le x^2 < 10{,}000, así que −100<x<100.-100 < x < 100. En cada intervalo [a,a+1)[a, a + 1) la cantidad 10,000x−x210{,}000x - x^2 crece desde 10,000a−a210{,}000a - a^2 y se aproxima, sin alcanzarlo, a 10,000(a+1)−(a+1)2.10{,}000(a+1) - (a+1)^2. Alcanza 10,000a10{,}000a exactamente una vez precisamente cuando (a+1)2<10,000.(a + 1)^2 < 10{,}000. Eso se cumple para los enteros −100≤a≤98,-100 \le a \le 98, que son 199199 soluciones. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Let a=⌊x⌋.a = \lfloor x \rfloor. The equation reads x2=10,000(x−a)x^2 = 10{,}000(x - a) =10,000{x},= 10{,}000\{x\}, and since 0≤{x}<1,0 \le \{x\} < 1, this forces 0≤x2<10,000,0 \le x^2 < 10{,}000, so −100<x<100.-100 < x < 100. On each interval [a,a+1)[a, a + 1) the quantity 10,000x−x210{,}000x - x^2 increases from 10,000a−a210{,}000a - a^2 and approaches, but does not reach, 10,000(a+1)−(a+1)2.10{,}000(a+1) - (a+1)^2. It hits 10,000a10{,}000a exactly once precisely when (a+1)2<10,000.(a + 1)^2 < 10{,}000. That holds for the integers −100≤a≤98,-100 \le a \le 98, which is 199199 solutions. Thus, C is the correct answer.
Problema 24#24
Examen completo

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