Question

Sea

f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),

donde

\lfloor r \rfloor

denota el mayor entero menor o igual que

r.

¿Cuántos valores distintos toma

f(x)

para

x \ge 0

?

Let

f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),

where

\lfloor r \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to

r.

How many distinct values does

f(x)

assume for

x \ge 0?

\ 32

\ 36

\ 45

\ 46

\ \text{infinitos}

\ \text{infinitely many}

Respuesta: A

Conceptos:funciones piso y techo Función φ de Euler

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Solo importa la parte fraccionaria de

x

.

Only the fractional part of

x

matters

Pista grande:

Cuenta los puntos de corte distintos

\frac{i}{k}

para

2\le k\le10

.

Count distinct breakpoints

\frac{i}{k}

for

2\le k\le10

Solución:

Escribe

x=\lfloor x\rfloor+t

, donde

0\le t\lt1

. Entonces

\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,

así que

f(x)

depende solo de la parte fraccionaria

t

.

El valor de

f

cambia solo cuando

t

cruza una fracción

\frac{i}{k}

, donde

2\le k\le10

y

1\le i\lt k

. El número de tales fracciones distintas en

(0,1)

es

\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}

Incluyendo el valor inicial antes del primer punto de corte,

f

toma

31+1=32

valores distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write

x=\lfloor x\rfloor+t

, where

0\le t\lt1

. Then

\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,

so

f(x)

depends only on the fractional part

t

.

The value of

f

changes only when

t

crosses a fraction

\frac{i}{k}

, where

2\le k\le10

and

1\le i\lt k

. The number of distinct such fractions in

(0,1)

is

\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}

Including the initial value before the first breakpoint,

f

assumes

31+1=32

distinct values.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10B Problema 25

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años