Question

Sea $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),$ donde $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $r.$ ¿Cuántos valores distintos toma $f(x)$ para $x \ge 0$ ?

Let $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $r.$ How many distinct values does $f(x)$ assume for $x \ge 0?$

$\ 32$

$\ 36$

$\ 45$

$\ 46$

$\ \text{infinitely many}$

Solución:

Escribe $x=\lfloor x\rfloor+t$ , donde $0\le t\lt1$ . Entonces $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,$ así que $f(x)$ depende solo de la parte fraccionaria $t$ .

El valor de $f$ cambia solo cuando $t$ cruza una fracción $i/k$ , donde $2\le k\le10$ y $1\le i\lt k$ . El número de tales fracciones distintas en $(0,1)$ es $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}$

Incluyendo el valor inicial antes del primer punto de corte, $f$ toma $31+1=32$ valores distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $x=\lfloor x\rfloor+t$ , where $0\le t\lt1$ . Then $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,$ so $f(x)$ depends only on the fractional part $t$ .

The value of $f$ changes only when $t$ crosses a fraction $i/k$ , where $2\le k\le10$ and $1\le i\lt k$ . The number of distinct such fractions in $(0,1)$ is $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}$

Including the initial value before the first breakpoint, $f$ assumes $31+1=32$ distinct values.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años