Question

Jim comienza con un entero positivo $n$ y crea una sucesión de números. Cada número sucesivo se obtiene restando el mayor cuadrado entero posible menor o igual al número actual, hasta llegar a cero. Por ejemplo, si Jim comienza con $n = 55,$ entonces su sucesión contiene $5$ números: $\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&55\\ 55&-&7^2&=&6\\ 6&-&2^2&=&2\\ 2&-&1^2&=&1\\ 1&-&1^2&=&0\\ \end{array}$ Sea $N$ el menor número para el cual la sucesión de Jim tiene $8$ números. ¿Cuál es el dígito de las unidades de $N$ ?

Jim starts with a positive integer $n$ and creates a sequence of numbers. Each successive number is obtained by subtracting the largest possible integer square less than or equal to the current number until zero is reached. For example, if Jim starts with $n = 55,$ then his sequence contains $5$ numbers: $\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&55\\ 55&-&7^2&=&6\\ 6&-&2^2&=&2\\ 2&-&1^2&=&1\\ 1&-&1^2&=&0\\ \end{array}$ Let $N$ be the smallest number for which Jim’s sequence has $8$ numbers. What is the units digit of $N?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Solución:

Podemos trabajar hacia atrás empezando con $0.$ A partir de esto, podemos sumar $1^2$ para obtener $1.$

Podemos sumar de nuevo $1^2$ para obtener $2.$ Otra vez, sumar $1^2$ nos da $3.$

Si sumamos $1^2$ ahora, obtenemos $4,$ pero entonces $1^2$ no es el mayor cuadrado menor o igual a $4.$

Entonces sumar $2^2$ nos da $7.$ Repetimos este proceso durante $8$ pasos para obtener $7223.$

$\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&7223\\ 7223&-&84^2&=&167\\ 167&-&12^2&=&23\\ 23&-&4^2&=&7\\ 7&-&2^2&=&3\\ 3&-&1^2&=&2\\2&-&1^2&=&1\\1&-&1^2&=&0\end{array}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can work backwards starting with $0.$ From this, we can add on $1^2$ to get $1.$

We can again add on $1^2$ to get $2.$ Again, adding on $1^2$ gives us $3.$

If we add on $1^2$ now, we get $4,$ but then $1^2$ is not the greatest square less than or equal to $4.$

Then adding on $2^2$ gives us $7.$ We repeat this process for $8$ steps to get $7223.$

$\begin{array}{ccccc} {}&{}&{}&{}&7223\\ 7223&-&84^2&=&167\\ 167&-&12^2&=&23\\ 23&-&4^2&=&7\\ 7&-&2^2&=&3\\ 3&-&1^2&=&2\\2&-&1^2&=&1\\1&-&1^2&=&0\end{array}$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años