Question

¿Cuántos enteros positivos que no excedan $2001$ son múltiplos de $3$ o $4$ pero no de $5$ ?

How many positive integers not exceeding $2001$ are multiples of $3$ or $4$ but not $5?$

$768$

$801$

$934$

$1067$

$1167$

Solución:

Múltiplos de $3$ o $4$ hasta $2001:$ $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001.$

Entre estos, elimina los múltiplos de $5:$ los múltiplos de $15$ ( $133$ ) y de $20$ ( $100$ ), volviendo a sumar los múltiplos de $60$ ( $33$ ): $133+100-33=200.$

Así que el conteo es $1001-200=801.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiples of $3$ or $4$ up to $2001:$ $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001.$

Among these, remove the multiples of $5:$ multiples of $15$ ( $133$ ) and of $20$ ( $100$ ), re-adding multiples of $60$ ( $33$ ): $133+100-33=200.$

So the count is $1001-200=801.$ Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 10 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años