Question

Los números reales $x,$ $y,$ y $z$ se eligen de forma independiente y al azar del intervalo $[0,n]$ para algún entero positivo $n.$ La probabilidad de que no haya dos de $x,$ $y,$ y $z$ que estén a menos de 1 unidad entre sí es mayor que $\dfrac{1}{2}.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Real numbers $x,$ $y,$ and $z$ are chosen independently and at random from the interval $[0,n]$ for some positive integer $n.$ The probability that no two of $x,$ $y,$ and $z$ are within 1 unit of each other is greater than $\dfrac{1}{2}.$ What is the smallest possible value of $n?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Este problema se presta a la probabilidad geométrica, ya que podemos ver el intervalo como un rango sobre un eje.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $n \geq x \geq y \geq z \geq 0.$

Entonces los puntos $(x, y, z)$ que satisfacen esta restricción forman un tetraedro.

La altura de este tetraedro es $n,$ y la base tiene un área de $\dfrac{n^2}{2}.$ Esto hace que el volumen sea $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}.$

Ahora debemos aplicar las restricciones del enunciado. Necesitamos hallar la región donde $|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1.$

A partir de la condición de orden que impusimos, estas desigualdades se reducen a $x - y \geq 1 \text{ and } y - z \geq 1.$

Estas dos restricciones forman otro tetraedro como se muestra a continuación.

Observa que en el nuevo tetraedro, todas las dimensiones se han reducido en $2.$ Esto hace la altura $n - 2$ y la base $\dfrac{(n - 2)^2}{2}.$

El volumen es entonces $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)$ $= \dfrac{(n - 2)^3}{6}.$

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}.$

Sustituyendo todas las opciones de respuesta, obtenemos que el menor valor tal que esta fracción es mayor que $\dfrac{1}{2}$ es $10.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

This problem lends itself to geometric probability since we can view the interval as a range on an axis.

WLOG, let $n \geq x \geq y \geq z \geq 0.$

Then we have that the points $(x, y, z)$ which satisfy this restriction form a tetrahedron.

The height of this tetrahedron is $n,$ and the base has an area of $\dfrac{n^2}{2}.$ This makes the volume $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}.$

Now we have to apply the restrictions from the problem statement. We need to find the region where $|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1.$

From our ordering condition that we imposed, these inequalities reduce to $x - y \geq 1 \text{ and } y - z \geq 1.$

These two restrictions form another tetrahedron as shown below.

Note that in the new tetrahedron, all the dimensions have been reduced by $2.$ This makes the height $n - 2$ and the base $\dfrac{(n - 2)^2}{2}.$

The volume is then $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)$ $= \dfrac{(n - 2)^3}{6}.$

The desired probability is then $\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}.$

Plugging in all the answer choices, we get that the smallest value such that this fraction is greater than $\dfrac{1}{2}$ is $10.$

Thus, D is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años