Question

Los números reales

x,

y,

y

z

se eligen de forma independiente y al azar del intervalo

[0,n]

para algún entero positivo

n.

La probabilidad de que no haya dos de

x,

y,

y

z

que estén a menos de

1

unidad entre sí es mayor que

\dfrac{1}{2}.

¿Cuál es el menor valor posible de

n

?

Real numbers

x,

y,

and

z

are chosen independently and at random from the interval

[0,n]

for some positive integer

n.

The probability that no two of

x,

y,

and

z

are within

1

unit of each other is greater than

\dfrac{1}{2}.

What is the smallest possible value of

n?

7

8

9

10

11

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad geométrica volumen simetría

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Primero ordena los tres números aleatorios.

Order the three random numbers first

Pista grande:

Resta

1

al número del medio y

2

al número mayor.

Subtract

1

from the middle number and

2

from the largest number

Solución:

Este problema se presta a la probabilidad geométrica, ya que podemos ver el intervalo como un rango sobre un eje.

Sin pérdida de generalidad, supongamos

n \geq x \geq y \geq z \geq 0.

Entonces los puntos

(x, y, z)

que satisfacen esta restricción forman un tetraedro.

La altura de este tetraedro es

n,

y la base tiene un área de

\dfrac{n^2}{2}.

Esto hace que el volumen sea

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}.

Ahora debemos aplicar las restricciones del enunciado. Necesitamos hallar la región donde

|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1.

A partir de la condición de orden que impusimos, estas desigualdades se reducen a

x - y \geq 1 \text{ y } y - z \geq 1.

Estas dos restricciones forman otro tetraedro como se muestra a continuación.

Observa que en el nuevo tetraedro, todas las dimensiones se han reducido en

2.

Esto hace la altura

n - 2

y la base

\dfrac{(n - 2)^2}{2}.

El volumen es entonces

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)

= \dfrac{(n - 2)^3}{6}.

La probabilidad buscada es entonces

\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}.

Sustituyendo todas las opciones de respuesta, obtenemos que el menor valor tal que esta fracción es mayor que

\dfrac{1}{2}

es

10.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

This problem lends itself to geometric probability since we can view the interval as a range on an axis.

WLOG, let

n \geq x \geq y \geq z \geq 0.

Then we have that the points

(x, y, z)

which satisfy this restriction form a tetrahedron.

The height of this tetrahedron is

n,

and the base has an area of

\dfrac{n^2}{2}.

This makes the volume

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}.

Now we have to apply the restrictions from the problem statement. We need to find the region where

|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1.

From our ordering condition that we imposed, these inequalities reduce to

x - y \geq 1 \text{ and } y - z \geq 1.

These two restrictions form another tetrahedron as shown below.

Note that in the new tetrahedron, all the dimensions have been reduced by

2.

This makes the height

n - 2

and the base

\dfrac{(n - 2)^2}{2}.

The volume is then

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)

= \dfrac{(n - 2)^3}{6}.

The desired probability is then

\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}.

Plugging in all the answer choices, we get that the smallest value such that this fraction is greater than

\dfrac{1}{2}

is

10.

Thus, D is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años