Question

Bernardo elige un entero positivo de tres cifras $N$ y escribe tanto su representación en base 5 como su representación en base 6 en una pizarra. Más tarde, LeRoy ve los dos números que Bernardo ha escrito. Tratando los dos números como enteros en base 10, los suma para obtener un entero $S.$

Por ejemplo, si $N = 749,$ Bernardo escribe los números $10,\!444$ y $3,\!245,$ y LeRoy obtiene la suma $S = 13,\!689.$ ¿Para cuántas elecciones de $N$ las dos cifras más a la derecha de $S,$ en orden, son las mismas que las de $2N$ ?

Bernardo chooses a three-digit positive integer $N$ and writes both its base-5 and base-6 representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base-10 integers, he adds them to obtain an integer $S.$

For example, if $N = 749,$ Bernardo writes the numbers $10,\!444$ and $3,\!245,$ and LeRoy obtains the sum $S = 13,\!689.$ For how many choices of $N$ are the two rightmost digits of $S,$ in order, the same as those of $2N?$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Solución:

Basta con trabajar módulo $900=\operatorname{lcm}(25,36,100)$ , porque las dos últimas cifras en base $5$ , en base $6$ y en base diez se repiten con ese período.

Sean las dos últimas cifras en base $5$ iguales a $a_1a_0$ y las dos últimas cifras en base $6$ iguales a $b_1b_0$ . La condición de la cifra de las unidades da $a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}$ , así que $a_0=b_0$ .

Escribiendo $N=150N_3+30a_1+a_0$ , la condición de la cifra de las decenas en base $6$ da $N_3\equiv a_1+b_1\pmod6$ , así que $N=900N_4+180a_1$ $+150b_1+a_0$ .

La condición de la cifra de las decenas para $S$ y $2N$ se reduce a $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ . Con $0\le a_1\le4$ y $0\le b_1\le5$ , los pares válidos son $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ .

Hay $5$ opciones para $a_0=b_0$ , así que hay $5\cdot5=25$ elecciones de $N$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

It is enough to work modulo $900=\operatorname{lcm}(25,36,100)$ , because the last two base- $5$ , base- $6$ , and decimal digits repeat with that period.

Let the last two base- $5$ digits be $a_1a_0$ and the last two base- $6$ digits be $b_1b_0$ . The units digit condition gives $a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}$ , so $a_0=b_0$ .

Writing $N=150N_3+30a_1+a_0$ , the base- $6$ tens digit condition gives $N_3\equiv a_1+b_1\pmod6$ , so $N=900N_4+180a_1$ $+150b_1+a_0$ .

The tens digit condition for $S$ and $2N$ reduces to $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ . With $0\le a_1\le4$ and $0\le b_1\le5$ , the valid pairs are $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ .

There are $5$ choices for $a_0=b_0$ , so there are $5\cdot5=25$ choices of $N$ .

Thus, the correct answer is E .

2013 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años