Question

En el trapecio $ABCD,$ $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son perpendiculares a $\overline{AD},$ con $AB+CD=BC,$ $AB\lt CD,$ y $AD=7.$ ¿Cuánto vale $AB\cdot CD$ ?

In trapezoid $ABCD,$ $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are perpendicular to $\overline{AD},$ with $AB+CD=BC,$ $AB\lt CD,$ and $AD=7.$ What is $AB\cdot CD?$

$12$

$12.25$

$12.5$

$12.75$

$13$

Solución:

Traza una perpendicular desde $B$ hasta $CD,$ que la corta en $E.$ Entonces $BE=AD=7$ y $CE=CD-AB.$ Por el teorema de Pitágoras, $BC^2=BE^2+CE^2.$

Como $BC=CD+AB,$ $\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}$

El lado izquierdo es igual a $4\cdot AB\cdot CD,$ así que $AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Drop a perpendicular from $B$ to $CD,$ meeting it at $E.$ Then $BE=AD=7$ and $CE=CD-AB.$ By the Pythagorean theorem, $BC^2=BE^2+CE^2.$

Since $BC=CD+AB,$ $\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}$

The left side equals $4\cdot AB\cdot CD,$ so $AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.$

Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 10 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años