Question

Para algunos enteros positivos $p,$ existe un cuadrilátero $ABCD$ con longitudes de lados enteras positivas, perímetro $p,$ ángulos rectos en $B$ y $C,$ $AB=2,$ y $CD=AD.$ ¿Cuántos valores distintos de $p < 2015$ son posibles?

For some positive integers $p,$ there is a quadrilateral $ABCD$ with positive integer side lengths, perimeter $p,$ right angles at $B$ and $C,$ $AB=2,$ and $CD=AD.$ How many different values of $p < 2015$ are possible?

$30$

$31$

$61$

$62$

$63$

Solución:

Sea $BC=x$ y $CD=AD=y$ . Bajando la altura desde $A$ hacia $CD$ se obtiene un triángulo rectángulo con catetos $x$ y $y-2$ , e hipotenusa $y$ . Por lo tanto, $(y-2)^2+x^2=y^2,$ así que $x^2=4(y-1)$ .

Como $x$ es un entero, escribimos $x=2k$ . Entonces $y=k^2+1$ , y el perímetro es $\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4. \end{aligned}$

Necesitamos $2k^2+2k+4<2015$ , es decir, $k^2+k<1005.5$ . Esto se cumple para $k=1,2,\ldots,31$ , mientras que $k=32$ es demasiado grande. Por lo tanto, hay $31$ perímetros posibles.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $BC=x$ and $CD=AD=y$ . Dropping the altitude from $A$ to $CD$ gives a right triangle with legs $x$ and $y-2$ , and hypotenuse $y$ . Therefore $(y-2)^2+x^2=y^2,$ so $x^2=4(y-1)$ .

Since $x$ is an integer, write $x=2k$ . Then $y=k^2+1$ , and the perimeter is $\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4. \end{aligned}$

We need $2k^2+2k+4<2015$ , or $k^2+k<1005.5$ . This holds for $k=1,2,\ldots,31$ , while $k=32$ is too large. Thus there are $31$ possible perimeters.

Thus, B is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años