Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular con longitud de lado $1.$ Denota por $X,$ $Y,$ y $Z$ los puntos medios de los lados $AB,$ $CD,$ y $EF,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de $\triangle ACE$ y $\triangle XYZ$ ?

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

Solución:

Centra el hexágono en el origen. Entonces $\triangle ACE$ es equilátero con lado $AC = \sqrt{3},$ así que su área es $\tfrac{\sqrt3}{4}(\sqrt3)^2 = \tfrac{3\sqrt3}{4}.$ Y $\triangle XYZ$ es equilátero con lado $\tfrac32,$ de área $\tfrac{\sqrt3}{4}\left(\tfrac32\right)^2 = \tfrac{9\sqrt3}{16}.$ Los dos son concéntricos y están rotados $30^\circ$ entre sí, así que su intersección es $\triangle XYZ$ con tres esquinas congruentes (cada una de área $\tfrac{\sqrt3}{32}$ ) recortadas: $\tfrac{9\sqrt3}{16} - 3\cdot\tfrac{\sqrt3}{32} = \tfrac{15}{32}\sqrt{3}.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Center the hexagon at the origin. Then $\triangle ACE$ is equilateral with side $AC = \sqrt{3},$ so its area is $\tfrac{\sqrt3}{4}(\sqrt3)^2 = \tfrac{3\sqrt3}{4}.$ And $\triangle XYZ$ is equilateral with side $\tfrac32,$ area $\tfrac{\sqrt3}{4}\left(\tfrac32\right)^2 = \tfrac{9\sqrt3}{16}.$ The two are concentric and rotated $30^\circ$ apart, so their intersection is $\triangle XYZ$ with three congruent corners (each of area $\tfrac{\sqrt3}{32}$ ) cut off: $\tfrac{9\sqrt3}{16} - 3\cdot\tfrac{\sqrt3}{32} = \tfrac{15}{32}\sqrt{3}.$ Therefore, the answer is C.

2018 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años