Question

Un punto reticular en un sistema de coordenadas $xy$ es cualquier punto $(x, y)$ donde tanto $x$ como $y$ son enteros. La gráfica de $y = mx +2$ no pasa por ningún punto reticular con $0 < x \le 100$ para todo $m$ tal que $\frac{1}{2} < m < a$ . ¿Cuál es el máximo valor posible de $a$ ?

A lattice point in an $xy$ -coordinate system is any point $(x, y)$ where both $x$ and $y$ are integers. The graph of $y = mx +2$ passes through no lattice point with $0 < x \le 100$ for all $m$ such that $\frac{1}{2} < m < a.$ What is the maximum possible value of $a?$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

$\dfrac{51}{100}$

$\dfrac{52}{101}$

$\dfrac{13}{25}$

Solución:

Desplaza la gráfica hacia abajo $2$ . El problema equivale a encontrar la menor pendiente $m\gt\dfrac12$ para la cual $y=mx$ pasa por un punto reticular con $0\lt x\le100$ .

Para un entero fijo $x$ , el menor entero $y$ con $y/x\gt1/2$ es $x/2+1$ cuando $x$ es par, y $(x+1)/2$ cuando $x$ es impar.

Así, las pendientes candidatas son $\dfrac12+\dfrac1x$ para $x$ par, minimizada en $x=100$ como $\dfrac{51}{100}$ , y $\dfrac12+\dfrac1{2x}$ para $x$ impar, minimizada en $x=99$ como $\dfrac{50}{99}$ .

La menor de estas es $\dfrac{50}{99}$ , así que todo $m$ con $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}$ evita tales puntos reticulares, y este extremo superior es el mejor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Shift the graph down by $2$ . The problem is equivalent to finding the smallest slope $m\gt\dfrac12$ for which $y=mx$ passes through a lattice point with $0\lt x\le100$ .

For a fixed integer $x$ , the smallest integer $y$ with $y/x\gt1/2$ is $x/2+1$ when $x$ is even, and $(x+1)/2$ when $x$ is odd.

Thus the candidate slopes are $\dfrac12+\dfrac1x$ for even $x$ , minimized at $x=100$ as $\dfrac{51}{100}$ , and $\dfrac12+\dfrac1{2x}$ for odd $x$ , minimized at $x=99$ as $\dfrac{50}{99}$ .

The smaller of these is $\dfrac{50}{99}$ , so every $m$ with $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}$ avoids such lattice points, and this upper endpoint is best possible.

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años