Question

Sea $n$ el menor entero positivo que es divisible tanto por $4$ como por $9,$ y cuya representación en base $10$ consiste solo en $4$ y $9$ , con al menos uno de cada uno. ¿Cuáles son los últimos cuatro dígitos de $n$ ?

Let $n$ denote the smallest positive integer that is divisible by both $4$ and $9,$ and whose base- $10$ representation consists of only $4$ ’s and $9$ ’s, with at least one of each. What are the last four digits of $n?$

$4444$

$4494$

$4944$

$9444$

$9944$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

La divisibilidad por $9$ restringe la suma de los dígitos; la divisibilidad por $4$ restringe los dos últimos dígitos.

Divisibility by $9$ constrains the digit sum; divisibility by $4$ constrains the last two digits

Pista grande:

La suma de los dígitos obliga a que haya al menos nueve $4$ , y los dos últimos dígitos deben ser ambos $4$ .

The digit sum forces at least nine $4$ ’s, and the last two digits must both be $4$

Solución:

Como $n$ es divisible por $9,$ su suma de dígitos es un múltiplo de $9.$ Con $k$ cuatros y $m$ nueves, la suma de dígitos es $4k+9m,$ así que $4k$ es divisible por $9,$ lo que obliga a que $k$ sea divisible por $9.$ Por lo tanto $k\ge 9,$ y con al menos un $9,$ el número tiene al menos diez dígitos.

Para la divisibilidad por $4,$ los dos últimos dígitos deben formar un múltiplo de $4,$ y entre $44,$ $49,$ $94$ y $99$ solo $44$ funciona, así que $n$ termina en $44.$

El menor número de diez dígitos de este tipo coloca el único $9$ en la posición disponible más baja, dando $4{,}444{,}444{,}944.$ Sus últimos cuatro dígitos son $4944.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $n$ is divisible by $9,$ its digit sum is a multiple of $9.$ With $k$ fours and $m$ nines, the digit sum is $4k+9m,$ so $4k$ is divisible by $9,$ forcing $k$ to be divisible by $9.$ Thus $k\ge 9,$ and with at least one $9,$ the number has at least ten digits.

For divisibility by $4,$ the last two digits must form a multiple of $4,$ and among $44,$ $49,$ $94,$ and $99$ only $44$ works, so $n$ ends in $44.$

The smallest such ten-digit number places the single $9$ in the lowest available position, giving $4{,}444{,}444{,}944.$ Its last four digits are $4944.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 10B Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años