Question

Sea $n$ el menor entero positivo que es divisible tanto por $4$ como por $9,$ y cuya representación en base $10$ consiste solo en $4$ y $9$ , con al menos uno de cada uno. ¿Cuáles son los últimos cuatro dígitos de $n$ ?

Let $n$ denote the smallest positive integer that is divisible by both $4$ and $9,$ and whose base- $10$ representation consists of only $4$ 's and $9$ 's, with at least one of each. What are the last four digits of $n?$

$4444$

$4494$

$4944$

$9444$

$9944$

Solución:

Como $n$ es divisible por $9,$ su suma de dígitos es un múltiplo de $9.$ Con $k$ cuatros y $m$ nueves, la suma de dígitos es $4k+9m,$ así que $9\mid 4k,$ lo que obliga a $9\mid k.$ Por lo tanto $k\ge 9,$ y con al menos un $9,$ el número tiene al menos diez dígitos.

Para la divisibilidad por $4,$ los dos últimos dígitos deben formar un múltiplo de $4,$ y entre $44,49,94, 99$ solo $44$ funciona, así que $n$ termina en $44.$

El menor número de diez dígitos de este tipo coloca el único $9$ en la posición disponible más baja, dando $4{,}444{,}444{,}944.$ Sus últimos cuatro dígitos son $4944.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $n$ is divisible by $9,$ its digit sum is a multiple of $9.$ With $k$ fours and $m$ nines, the digit sum is $4k+9m,$ so $9\mid 4k,$ forcing $9\mid k.$ Thus $k\ge 9,$ and with at least one $9,$ the number has at least ten digits.

For divisibility by $4,$ the last two digits must form a multiple of $4,$ and among $44,49,94, 99$ only $44$ works, so $n$ ends in $44.$

The smallest such ten-digit number places the single $9$ in the lowest available position, giving $4{,}444{,}444{,}944.$ Its last four digits are $4944.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años