Question

El cuadrilátero $ABCD$ tiene $AB=BC=CD,$ $\angle ABC=70^\circ,$ y $\angle BCD=170^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BAD$ ?

Quadrilateral $ABCD$ has $AB=BC=CD,$ $\angle ABC=70^\circ,$ and $\angle BCD=170^\circ.$ What is the degree measure of $\angle BAD?$

$75$

$80$

$85$

$90$

$95$

Solución:

Sea $M$ el punto tal que $\triangle BMC$ es equilátero, del mismo lado de $BC$ que $A.$ Entonces $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ y $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ.$

Como $AB=BM$ y $MC=CD,$ los triángulos $ABM$ y $MCD$ son isósceles, dando $\angle AMB=85^\circ$ y $\angle CMD=35^\circ.$

Entonces $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ,$ así que $M$ está sobre $\overline{AD}$ y $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $M$ be the point with $\triangle BMC$ equilateral, on the same side of $BC$ as $A.$ Then $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ and $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ.$

Since $AB=BM$ and $MC=CD,$ triangles $ABM$ and $MCD$ are isosceles, giving $\angle AMB=85^\circ$ and $\angle CMD=35^\circ.$

Then $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ,$ so $M$ lies on $\overline{AD}$ and $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años