Question

Cada una de las $12$ aristas de un cubo se etiqueta con $0$ o $1.$ Dos etiquetados se consideran diferentes incluso si uno puede obtenerse del otro mediante una secuencia de una o más rotaciones y/o reflexiones. ¿Para cuántos de tales etiquetados la suma de las etiquetas en las aristas de cada una de las $6$ caras del cubo es igual a $2$ ?

Each of the $12$ edges of a cube is labeled $0$ or $1.$ Two labelings are considered different even if one can be obtained from the other by a sequence of one or more rotations and/or reflections. For how many such labelings is the sum of the labels on the edges of each of the $6$ faces of the cube equal to $2?$

$8$

$10$

$12$

$16$

$20$

Solución:

Etiqueta una cara $ABCD$ . Cada cara debe contener dos $0$ y dos $1$ , así que primero separa según el patrón en las cuatro aristas de $ABCD$ .

Caso 1: las aristas opuestas de $ABCD$ tienen la misma etiqueta. Hay $2$ de tales patrones en $ABCD$ . Para cualquiera de los patrones, una vez que se elige la etiqueta de una arista vertical, digamos $AE$ , las condiciones de suma de caras obligan todas las etiquetas restantes. Esto da $2\cdot2=4$ etiquetados.

Caso 2: las aristas opuestas de $ABCD$ tienen etiquetas diferentes. Hay $4$ de tales patrones en $ABCD$ . Para cada uno, las etiquetas de dos aristas verticales adyacentes pueden elegirse de $4$ maneras, y luego las etiquetas restantes quedan obligadas por las condiciones de suma de caras. Esto da $4\cdot4=16$ etiquetados.

El total es $4+16=20$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Label one face $ABCD$ . Each face must contain two $0$ s and two $1$ s, so first split by the pattern on the four edges of $ABCD$ .

Case 1: opposite edges of $ABCD$ have the same label. There are $2$ such patterns on $ABCD$ . For either pattern, once the label of one vertical edge, say $AE$ , is chosen, the face-sum conditions force all remaining labels. This gives $2\cdot2=4$ labelings.

Case 2: opposite edges of $ABCD$ have different labels. There are $4$ such patterns on $ABCD$ . For each, the labels of two adjacent vertical edges may be chosen in $4$ ways, and then the remaining labels are forced by the face-sum conditions. This gives $4\cdot4=16$ labelings.

The total is $4+16=20$ .

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años