Soluciones del 2021 AMC 10A Fall | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\dfrac{(2112-2021)^2}{169}$

What is the value of the following expression?

$\dfrac{(2112-2021)^2}{169}$

$7$

$21$

$49$

$64$

$91$

Conceptos:fracción exponente

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Primero calcula $2112-2021=91=7\cdot13$ .

$2112-2021=91=7\cdot13$

Pista grande:

El denominador es $13^2$ .

The denominator is $13^2$

Solución:

Podemos simplificar la expresión de la siguiente manera: $2112-2021=91=7\cdot13,$ $\begin{aligned} \frac{(2112-2021)^2}{169} &=\frac{(7\cdot13)^2}{13^2}\\ &=7^2=49. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $2112-2021=91=7\cdot13,$ $\begin{aligned} \frac{(2112-2021)^2}{169} &=\frac{(7\cdot13)^2}{13^2}\\ &=7^2=49. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2.

Menkara tiene una tarjeta índice de $4 \times 6$ . Si acorta la longitud de uno de los lados de esta tarjeta en $1$ pulgada, la tarjeta tendría un área de $18$ pulgadas cuadradas. ¿Cuál sería el área de la tarjeta en pulgadas cuadradas si en cambio acorta la longitud del otro lado en $1$ pulgada?

Menkara has a $4 \times 6$ index card. If she shortens the length of one side of this card by $1$ inch, the card would have area $18$ square inches. What would the area of the card be in square inches if instead she shortens the length of the other side by $1$ inch?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:rectángulo área trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Averigua qué lado se acortó para obtener un área de $18$ .

Figure out which side was shortened to get area $18$

Pista grande:

Luego acorta el otro lado en su lugar.

Then shorten the other side instead

Solución:

Si acorta el lado de $4$ pulgadas en $1,$ obtiene una tarjeta de $3\times 6$ , cuya área es $18$ pulgadas cuadradas.

Por lo tanto, el acortamiento dado fue en el lado de $4$ pulgadas. Acortar el otro lado en su lugar da una tarjeta de $4\times 5$ , con área de $20$ pulgadas cuadradas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

If she shortens the $4$ -inch side by $1,$ she has a $3\times 6$ card, whose area is $18$ square inches.

Therefore the given shortening was on the $4$ -inch side. Shortening the other side instead gives a $4\times 5$ card, with area $20$ square inches.

Thus, E is the correct answer.

3.

¿Cuál es el número máximo de bolas de arcilla de radio $2$ que pueden caber completamente dentro de un cubo de lado $6$ , suponiendo que las bolas pueden ser remodeladas pero no comprimidas antes de ser empacadas en el cubo?

What is the maximum number of balls of clay with radius $2$ that can completely fit inside a cube of side length $6$ assuming that the balls can be reshaped but not compressed before they are packed in the cube?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:volumen esfera estimación

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Compara los volúmenes porque la arcilla puede ser remodelada.

Compare volumes because the clay can be reshaped

Pista grande:

El número es $\left\lfloor \frac{216}{\frac{32\pi}{3}}\right\rfloor$ .

The count is $\left\lfloor \frac{216}{\frac{32\pi}{3}}\right\rfloor$

Solución:

El cubo tiene volumen $6^3=216.$ Una bola de arcilla tiene volumen $\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3=\frac{32\pi}{3}.$

Como la arcilla puede ser remodelada pero no comprimida, el número máximo de bolas es $\left\lfloor \frac{216}{\frac{32\pi}{3}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{81}{4\pi}\right\rfloor.$

Como $12\lt 4\pi\lt 13,$ tenemos $6\lt \frac{81}{4\pi}\lt \frac{81}{12}\lt 7.$ Por lo tanto, la parte entera es $6.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The cube has volume $6^3=216.$ One ball of clay has volume $\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3=\frac{32\pi}{3}.$

Because the clay may be reshaped but not compressed, the maximum number of balls is $\left\lfloor \frac{216}{\frac{32\pi}{3}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{81}{4\pi}\right\rfloor.$

Since $12\lt 4\pi\lt 13,$ we have $6\lt \frac{81}{4\pi}\lt \frac{81}{12}\lt 7.$ Therefore the floor is $6.$

Thus, D is the correct answer.

4.

El señor Lopez puede elegir entre dos rutas para llegar al trabajo. La ruta A tiene $6$ millas de longitud, y su velocidad promedio en esta ruta es de $30$ millas por hora. La ruta B tiene $5$ millas de longitud, y su velocidad promedio en esta ruta es de $40$ millas por hora, excepto en un tramo de $\dfrac{1}{2}$ milla en una zona escolar donde su velocidad promedio es de $20$ millas por hora. ¿Por cuántos minutos es la ruta B más rápida que la ruta A?

Mr. Lopez has a choice of two routes to get to work. Route A is $6$ miles long, and his average speed along this route is $30$ miles per hour. Route B is $5$ miles long, and his average speed along this route is $40$ miles per hour, except for a $\dfrac{1}{2}$ -mile stretch in a school zone where his average speed is $20$ miles per hour. By how many minutes is Route B quicker than Route A?

$2 \dfrac{3}{4}$

$3 \dfrac{3}{4}$

$4 \dfrac{1}{2}$

$5 \dfrac{1}{2}$

$6 \dfrac{3}{4}$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Convierte el tiempo de viaje de cada ruta a minutos.

Convert each route’s travel time to minutes

Pista grande:

La ruta B tiene $4.5$ millas a $40$ mph y $0.5$ milla a $20$ mph.

Route B has $4.5$ miles at $40$ mph and $0.5$ mile at $20$ mph

Solución:

El señor Lopez tardaría $\dfrac{6}{30} \cdot 60 = 12$ minutos en recorrer la ruta A.

En la ruta B, tardaría $\left(\dfrac{5 - 0.5}{40} + \dfrac{0.5}{20}\right) \cdot 60 = 8.25$ minutos.

La diferencia de tiempos entre estas rutas es $12 - 8.25 = 3.75$ minutos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Mr. Lopez would take $\dfrac{6}{30} \cdot 60 = 12$ minutes to travel on Route A.

On Route B, he would take $\left(\dfrac{5 - 0.5}{40} + \dfrac{0.5}{20}\right) \cdot 60 = 8.25$ minutes.

The difference in times along these routes is $12 - 8.25 = 3.75$ minutes.

Thus, B is the correct answer.

5.

El número de seis dígitos $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ es primo solo para un dígito $A.$ ¿Cuánto vale $A$ ?

The six-digit number $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ is prime for only one digit $A.$ What is $A?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:divisibilidad dígitos primo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Primero descarta los dígitos pares y el $5$ .

Rule out even digits and $5$ first

Pista grande:

Prueba las opciones impares restantes con la divisibilidad entre $3$ y $11$ .

Test the remaining odd choices with divisibility by $3$ and $11$

Solución:

Observemos que $A$ no puede ser par, pues entonces el número sería divisible entre $2.$

$A$ tampoco puede ser $5,$ pues eso haría que el número fuera divisible entre $5.$

Si $A$ fuera $1$ o $7,$ la suma de los dígitos sería $6$ y $12$ , respectivamente.

Eso haría al número divisible entre $3,$ por lo que se descartan esos dos valores de $A$ .

Finalmente, si $A$ es $3,$ el número completo es $202103.$ La diferencia de las sumas de dígitos alternados es $2 + 2 - 1 - 3 = 0,$ lo que significa que el número es divisible entre $11.$

Cada opción salvo $9$ hace que el número sea compuesto. Como el problema dice que funciona exactamente un dígito, debe ser $A=9.$ (En efecto, la división de prueba por los primos a lo sumo $\sqrt{202109}<450$ confirma que $202109$ es primo.)

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $A$ cannot be even, as then the number would be divisible by $2.$

$A$ also cannot be $5,$ as that would make the number divisible by $5.$

If $A$ equaled $1$ or $7,$ then the sum of the digits of the number would be $6$ and $12$ respectively.

This would make the number divisible by $3,$ so that rules out $A$ equaling either of these numbers.

Finally, if $A$ equals $3,$ then the whole number becomes $202103.$ If we look at the difference of the sums of alternating digits, we get $2 + 2 - 1 - 3 = 0,$ which means the number is divisible by $11.$

Every choice except $9$ makes the number composite. Because the problem states that exactly one digit works, that digit must be $A=9.$ (Indeed, trial division by the primes at most $\sqrt{202109}<450$ confirms that $202109$ is prime.)

Thus, E is the correct answer.

6.

Elmer el emú da $44$ zancadas iguales para caminar entre postes telefónicos consecutivos en un camino rural. Oscar el avestruz puede cubrir la misma distancia en $12$ saltos iguales. Los postes telefónicos están espaciados uniformemente, y el poste número $41$ a lo largo de este camino está exactamente a una milla ( $5280$ pies) del primer poste. ¿Cuánto más largo, en pies, es el salto de Oscar que la zancada de Elmer?

Elmer the emu takes $44$ equal strides to walk between consecutive telephone poles on a rural road. Oscar the ostrich can cover the same distance in $12$ equal leaps. The telephone poles are evenly spaced, and the $41$ st pole along this road is exactly one mile ( $5280$ feet) from the first pole. How much longer, in feet, is Oscar’s leap than Elmer’s stride?

$6$

$8$

$10$

$11$

$15$

Conceptos:razón y proporción conversión de unidades conteo de postes

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Hay $40$ intervalos iguales entre postes en una milla.

There are $40$ equal pole gaps in one mile

Pista grande:

Encuentra un intervalo entre postes, luego divídelo entre $44$ y entre $12$ .

Find one pole gap, then divide it by $44$ and by $12$

Solución:

Hay $40$ intervalos entre el poste $1$ y el poste $41$ , lo que significa que la distancia entre postes consecutivos es $5280 \div 40 = 132$ pies.

Esto significa que cada zancada de Elmer mide $132 \div 44 = 3$ pies. De manera similar, cada salto de Oscar mide $132 \div 12 = 11$ pies. Esto hace que el salto de Oscar sea $11 - 3 = 8$ pies más largo.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are $40$ gaps between the $1$ st and $41$ st pole, which means that the distance between consecutive poles is $5280 \div 40 = 132$ feet.

This means that each of Elmer’s strides is $132 \div 44 = 3$ feet. Similarly, each of Oscar’s leaps is $132 \div 12 = 11$ feet. This makes Oscar’s leap $11 - 3 = 8$ feet longer.

Thus, B is the correct answer.

7.

Como se muestra en la figura de abajo, el punto $E$ se encuentra en el semiplano opuesto determinado por la recta $CD$ respecto del punto $A$ , de modo que $\angle CDE = 110^\circ.$ El punto $F$ está sobre $\overline{AD}$ de modo que $DE=DF,$ y $ABCD$ es un cuadrado. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle AFE$ ?

As shown in the figure below, point $E$ lies in the opposite half-plane determined by line $CD$ from point $A$ so that $\angle CDE = 110^\circ.$ Point $F$ lies on $\overline{AD}$ so that $DE=DF,$ and $ABCD$ is a square. What is the degree measure of $\angle AFE?$

$160$

$164$

$166$

$170$

$174$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Encuentra el ángulo grande $\angle FDE$ alrededor del punto $D$ .

Find the large angle $\angle FDE$ around point $D$

Pista grande:

Como $DE=DF,$ el triángulo $DFE$ es isósceles.

Since $DE=DF,$ triangle $DFE$ is isosceles

Solución:

Como $\angle ADC = 90^{\circ},$ obtenemos $\angle FDE = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 110^{\circ}$ $= 160^{\circ}.$ Además, como $\triangle FDE$ es isósceles, $\angle EFD = \dfrac{180^{\circ} - 160^{\circ}}{2} = 10^{\circ}.$ Finalmente, $\angle AFE = 180^{\circ} - 10^{\circ} = 170^{\circ}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $\angle ADC = 90^{\circ},$ we get that $\angle FDE = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 110^{\circ}$ $= 160^{\circ}.$ Also since $\triangle FDE$ is isosceles, we get that $\angle EFD = \dfrac{180^{\circ} - 160^{\circ}}{2} = 10^{\circ}.$ Finally, we get that $\angle AFE = 180^{\circ} - 10^{\circ} = 170^{\circ}.$

Thus, D is the correct answer.

8.

Se dice que un entero positivo de dos dígitos es cariñoso si es igual a la suma de su dígito de las decenas (no nulo) y el cuadrado de su dígito de las unidades. ¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos son cariñosos?

A two-digit positive integer is said to be cuddly if it is equal to the sum of its nonzero tens digit and the square of its units digit. How many two-digit positive integers are cuddly?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:dígitos Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Sea $a$ el dígito de las decenas y $b$ el de las unidades.

Let the tens digit be $a$ and the units digit be $b$

Pista grande:

La ecuación de los dígitos se convierte en $9a=b(b-1)$ .

The digit equation becomes $9a=b(b-1)$

Solución:

Sea $\underline{a} \ \underline{b}$ un número cariñoso de $2$ cifras.

Entonces, $10a + b = a + b^2.$ Al reordenar se obtiene $9a = b(b - 1).$ Como dos enteros consecutivos no pueden ser ambos divisibles por $3,$ uno de $b$ y $b-1$ debe contener los dos factores de $3.$

Para un dígito $b,$ esto deja $b=0,1,$ o $9.$ Las dos primeras opciones dan $a=0,$ que no produce un número de dos cifras. Si $b=9,$ entonces $a=8.$ Al comprobar, $89$ es un número cariñoso. Por tanto, hay exactamente $1$ número cariñoso de dos cifras.

Así, B es la respuesta correcta.

Let $\underline{a} \ \underline{b}$ be a $2$ -digit cuddly number.

Then $10a + b = a + b^2.$ Rearranging, we get $9a = b(b - 1).$ Because consecutive integers cannot both be divisible by $3,$ one of $b$ and $b-1$ must contain both factors of $3.$

For a digit $b,$ this leaves $b=0,1,$ or $9.$ The first two choices give $a=0,$ which does not make a two-digit number. If $b=9,$ then $a=8.$ Checking, we get that $89$ is a cuddly number. This shows that there is only $1$ two-digit cuddly number.

Thus, B is the correct answer.

9.

Cuando se lanza cierto dado no equilibrado, un número par tiene $3$ veces más probabilidad de aparecer que un número impar. El dado se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea par?

When a certain unfair die is rolled, an even number is $3$ times as likely to appear as an odd number. The die is rolled twice. What is the probability that the sum of the numbers rolled is even?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

Conceptos:dados (probabilidad)paridad eventos independientes

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Sea $p,$ la probabilidad de impar, así que la de par es $3p$ .

Let the probability of odd be $p,$ so even is $3p$

Pista grande:

Una suma par significa dos impares o dos pares.

An even sum means two odds or two evens

Solución:

Sea $p$ la probabilidad de obtener un número impar. Entonces $3p$ es la probabilidad de obtener un número par. Sabemos que $p + 3p = 1 \Rightarrow p = \dfrac{1}{4}.$

La única forma de que la suma sea par es que ambos lanzamientos tengan la misma paridad. Esto ocurre con probabilidad $\dfrac{1}{4}^2 + \dfrac{3}{4}^2 = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $p$ be the probability that an odd number is rolled. Then $3p$ is the probability an even number is rolled. We know that $p + 3p = 1 \Rightarrow p = \dfrac{1}{4}.$

The only way for the sum to be even is if both rolls have the same parity. This happens with a probability of $\dfrac{1}{4}^2 + \dfrac{3}{4}^2 = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}.$

Thus, E is the correct answer.

10.

Una escuela tiene $100$ estudiantes y $5$ profesores. En la primera hora, cada estudiante toma una clase y cada profesor imparte una clase. Las inscripciones en las clases son $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ y $5.$ Sea $t$ el valor promedio obtenido si se elige un profesor al azar y se anota el número de estudiantes en su clase. Sea $s$ el valor promedio obtenido si se elige un estudiante al azar y se anota el número de estudiantes en su clase, incluido el propio estudiante. ¿Cuánto vale $t-s$ ?

A school has $100$ students and $5$ teachers. In the first period, each student is taking one class, and each teacher is teaching one class. The enrollments in the classes are $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ and $5.$ Let $t$ be the average value obtained if a teacher is picked at random and the number of students in their class is noted. Let $s$ be the average value obtained if a student was picked at random and the number of students in their class, including the student, is noted. What is $t-s?$

$-18.5$

$-13.5$

$0$

$13.5$

$18.5$

Conceptos:valor esperado media

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

En el promedio de los profesores, cada clase pesa una vez.

The teacher average weights each class once

Pista grande:

En el promedio de los estudiantes, una clase pesa según su número de inscritos.

The student average weights a class by its enrollment

Solución:

Recuerda la fórmula del valor esperado $\mathbb E[X]=\sum_x x\,\Pr(X=x).$

Por lo tanto, $t = \dfrac{1}{5} (50 + 20 + 20 + 5 + 5)$ $= \dfrac{1}{5} \cdot 100 = 20$ y $s = 50 \cdot \dfrac{50}{100} + 20 \cdot \dfrac{20}{100}$ $+ 20 \cdot \dfrac{20}{100} + 5 \cdot \dfrac{5}{100} + 5 \cdot \dfrac{5}{100}$ $\begin{aligned} &= 25 + 4 + 4 + 0.25 + 0.25 \\ &= 33.5 \end{aligned}$

$t - s = -13.5.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Recall the expected-value formula $\mathbb E[X]=\sum_x x\,\Pr(X=x).$

Therefore, $t = \dfrac{1}{5} (50 + 20 + 20 + 5 + 5)$ $= \dfrac{1}{5} \cdot 100 = 20$ and $s = 50 \cdot \dfrac{50}{100} + 20 \cdot \dfrac{20}{100}$ $+ 20 \cdot \dfrac{20}{100} + 5 \cdot \dfrac{5}{100} + 5 \cdot \dfrac{5}{100}$ $\begin{aligned} &= 25 + 4 + 4 + 0.25 + 0.25 \\ &= 33.5 \end{aligned}$

$t - s = -13.5.$

Thus, B is the correct answer.

11.

Emily ve un barco que viaja a velocidad constante a lo largo de un tramo recto de un río. Ella camina paralela a la orilla a un ritmo uniforme más rápido que el barco. Cuenta $210$ pasos iguales caminando desde la popa hasta la proa del barco. Caminando en dirección opuesta, cuenta $42$ pasos del mismo tamaño desde la proa hasta la popa. En términos de los pasos iguales de Emily, ¿cuál es la longitud del barco?

Emily sees a ship traveling at a constant speed along a straight section of a river. She walks parallel to the riverbank at a uniform rate faster than the ship. She counts $210$ equal steps walking from the back of the ship to the front. Walking in the opposite direction, she counts $42$ steps of the same size from the front of the ship to the back. In terms of Emily’s equal steps, what is the length of the ship?

$70$

$84$

$98$

$105$

$126$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Mide todas las distancias en pasos de Emily.

Measure all distances in Emily steps

Pista grande:

Con longitud del barco $x,$ el barco se mueve $210-x$ en un sentido y $x-42$ en el otro.

With ship length $x,$ the ship moves $210-x$ one way and $x-42$ the other way

Solución:

Sea $x$ la longitud del barco. Entonces, en el tiempo que Emily avanza $210$ pasos, el barco avanza $210 - x$ pasos.

En el tiempo que Emily avanza $42$ pasos, el barco avanza $x - 42$ pasos. Como el barco y Emily se mueven a ritmo constante, $\dfrac{210}{210 - x} = \dfrac{42}{x - 42}.$ Multiplicando en cruz se obtiene $210x - 210 \cdot 42 = 210 \cdot 42 - 42x$ $42 \cdot 6 x = 2 \cdot 42 \cdot 210$ $x = 70.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the length of the ship. Then in the time that Emily moves $210$ steps, the ship moves $210 - x$ steps.

In the time that Emily moves $42$ steps, the ship moves $x - 42$ steps. Since the ship and Emily move at a constant rate $\dfrac{210}{210 - x} = \dfrac{42}{x - 42}.$ Cross-multiplying yields $210x - 210 \cdot 42 = 210 \cdot 42 - 42x$ $42 \cdot 6 x = 2 \cdot 42 \cdot 210$ $x = 70.$

Thus, A is the correct answer.

12.

La representación en base nueve del número $N$ es $27{,}006{,}000{,}052_9.$ ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $5$ ?

The base-nine representation of the number $N$ is $27{,}006{,}000{,}052_9.$ What is the remainder when $N$ is divided by $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:base numérica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Trabaja módulo $5,$ donde $9\equiv -1$ .

Work modulo $5,$ where $9\equiv -1$

Pista grande:

Solo los dígitos no nulos en base nueve contribuyen.

Only the nonzero base-nine digits contribute

Solución:

Nota que $9 \equiv -1 \pmod{5}.$ Entonces, si desarrollamos $N$ usando la definición de las bases, obtenemos $N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +$ $5 \cdot 9 + 2$ $\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +$ $5 (-1) + 2 \pmod{5}$ $\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}$ $\equiv 3 \pmod{5}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that $9 \equiv -1 \pmod{5}.$ Then if expand $N$ using the definition of bases, we get $N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +$ $5 \cdot 9 + 2$ $\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +$ $5 (-1) + 2 \pmod{5}$ $\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}$ $\equiv 3 \pmod{5}.$

Thus, D is the correct answer.

13.

Cada una de $6$ bolas se pinta de negro o blanco de manera aleatoria e independiente con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que cada bola tenga un color distinto al de más de la mitad de las otras $5$ bolas?

Each of $6$ balls is randomly and independently painted either black or white with equal probability. What is the probability that every ball is different in color from more than half of the other $5$ balls?

$\dfrac{1}{64}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Cada bola debe ver al menos $3$ bolas del otro color.

Each ball must see at least $3$ balls of the other color

Pista grande:

Eso obliga a que haya exactamente $3$ bolas de cada color.

That forces exactly $3$ balls of each color

Solución:

Nota que, para que se cumpla esta restricción, debe haber $3$ bolas de cada color.

Hay $2^6 = 64$ maneras de colorear las bolas y $\binom{6}{3} = 20$ de elegir cuáles bolas son blancas.

La probabilidad buscada es por lo tanto $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that for this restriction to hold, there must be $3$ balls of each color.

There are $2^6 = 64$ ways to color the balls and $\binom{6}{3} = 20$ to choose which balls are white.

The desired probability is therefore $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, D is the correct answer.

14.

¿Cuántos pares ordenados $(x,y)$ de números reales satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? $\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1. \end{aligned}$

How many ordered pairs $(x,y)$ of real numbers satisfy the following system of equations? $\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1. \end{aligned}$

$1$

$2$

$3$

$5$

$7$

Conceptos:valor absoluto sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

La segunda ecuación da $|x|+|y|=3$ o $5$ .

The second equation gives $|x|+|y|=3$ or $5$

Pista grande:

Usa $y=3-\frac{x^2}{3}$ y verifica los rangos de signo de $x,y$ .

Use $y=3-\frac{x^2}{3}$ and check the sign ranges for $x,y$

Solución:

Sea $t=|x|.$ La segunda ecuación da $t+|y|=3$ o $5,$ mientras que la primera da $y=3-\frac{t^2}{3}.$

Si $y\ge0,$ entonces $0\le t\le3.$ Para $t+y=3,$ al sustituir se obtiene $t-\frac{t^2}{3}=0,$ de donde $t=0$ o $3.$ Estos valores producen $x=0,3,-3,$ es decir, tres puntos. Para $t+y=5,$ la sustitución da $t^2-3t+6=0,$ que no tiene raíces reales.

Si $y<0,$ entonces $t>3.$ La ecuación $t-y=3$ da $t^2+3t-18=0,$ cuya única raíz no negativa es el valor fronterizo excluido $t=3.$ La ecuación $t-y=5$ da $t^2+3t-24=0,$ con exactamente una raíz positiva $t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3.$ Esta produce dos puntos, uno por cada signo de $x.$

El número total de pares ordenados es $3+2=5.$

Así, D es la respuesta correcta.

Put $t=|x|.$ The second equation gives $t+|y|=3$ or $5,$ while the first gives $y=3-\frac{t^2}{3}.$

If $y\ge0,$ then $0\le t\le3.$ For $t+y=3,$ substitution gives $t-\frac{t^2}{3}=0,$ so $t=0$ or $3.$ These yield $x=0,3,-3,$ for three points. For $t+y=5,$ substitution gives $t^2-3t+6=0,$ which has no real root.

If $y<0,$ then $t>3.$ The equation $t-y=3$ gives $t^2+3t-18=0,$ whose only nonnegative root is the excluded boundary value $t=3.$ The equation $t-y=5$ gives $t^2+3t-24=0,$ with exactly one positive root $t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3.$ It yields two points, one for each sign of $x.$

The total number of ordered pairs is $3+2=5.$

Thus, D is the correct answer.

15.

El triángulo isósceles $ABC$ tiene $AB = AC = 3\sqrt6,$ y un círculo de radio $5\sqrt2$ es tangente a la recta $AB$ en $B$ y a la recta $AC$ en $C.$ ¿Cuál es el área del círculo que pasa por los vértices $A,$ $B,$ y $C$ ?

Isosceles triangle $ABC$ has $AB = AC = 3\sqrt6,$ and a circle with radius $5\sqrt2$ is tangent to line $AB$ at $B$ and to line $AC$ at $C.$ What is the area of the circle that passes through vertices $A,$ $B,$ and $C?$

$24\pi$

$25\pi$

$26\pi$

$27\pi$

$28\pi$

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio cuadrilátero cíclico recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Une el centro del círculo tangente con $B$ y $C$ .

Join the center of the tangent circle to $B$ and $C$

Pista grande:

Los ángulos rectos en $B$ y $C$ colocan $A,B,O,C$ sobre un mismo círculo.

Right angles at $B$ and $C$ put $A,B,O,C$ on one circle

Solución:

Sea $O_1$ el centro del círculo tangente a $AB$ y $AC.$ Entonces $\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ,$ así que $A,B,O_1,C$ son concíclicos.

Como los ángulos rectos en $B$ y $C$ subtienden $AO_1,$ el segmento $AO_1$ es un diámetro de este círculo. Sea $O_2$ su centro. El mismo círculo pasa por $A,B,$ y $C,$ así que es el circuncírculo buscado.

Por el teorema de Pitágoras en $\triangle ABO_1,$ $\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26}. \end{aligned}$ Por tanto, el circunradio es $\sqrt{26},$ y el área pedida es $26\pi.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $O_1$ be the center of the circle tangent to $AB$ and $AC.$ Then $\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ,$ so $A,B,O_1,C$ are concyclic.

Because the right angles at $B$ and $C$ subtend $AO_1,$ the segment $AO_1$ is a diameter of this circle. Let $O_2$ be its center. The same circle passes through $A,B,$ and $C,$ so it is the desired circumcircle.

By the Pythagorean Theorem in $\triangle ABO_1,$ $\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26}. \end{aligned}$ Therefore, the circumradius is $\sqrt{26},$ and the requested area is $26\pi.$

Thus, C is the correct answer.

16.

Considere la función

$f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|$

¿Respecto de cuál de las siguientes opciones es simétrica su gráfica? (Aquí $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero que no excede a $x.$ )

Consider the function

$f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|$

Its graph is symmetric about which of the following? (Here $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

el eje $y$

the $y$ -axis

la recta $x=1$

the line $x=1$

el origen

the origin

el punto $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$

the point $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$

el punto $(1,0)$

the point $(1,0)$

Conceptos:funciones piso y techo simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Compara $f(1-x)$ con $f(x)$ .

Compare $f(1-x)$ with $f(x)$

Pista grande:

La relación es simetría central, no simetría axial.

The relation is point symmetry, not line symmetry

Solución:

Para todo real $x,$ $\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}$

De forma equivalente, reemplazar $x$ por $\frac{1}{2}+t$ da $f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right).$ Esto es simetría central respecto de $\left(\frac{1}{2},0\right).$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For every real $x,$ $\begin{aligned} &f(1-x)=|\lfloor 1-x\rfloor| \\ &\quad {}-|\lfloor x\rfloor|=-f(x). \end{aligned}$

Equivalently, replacing $x$ by $\frac{1}{2}+t$ gives $f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)=-f\!\left(\frac{1}{2}+t\right).$ This is point symmetry about $\left(\frac{1}{2},0\right).$

Thus, D is the correct answer.

17.

Un arquitecto está construyendo una estructura que colocará pilares verticales en los vértices del hexágono regular $ABCDEF,$ que yace horizontalmente sobre el suelo. Los seis pilares sostendrán un panel solar plano que no será paralelo al suelo. Las alturas de los pilares en $A,$ $B,$ y $C$ son $12,$ $9,$ y $10$ metros, respectivamente. ¿Cuál es la altura, en metros, del pilar en $E$ ?

An architect is building a structure that will place vertical pillars at the vertices of regular hexagon $ABCDEF,$ which is lying horizontally on the ground. The six pillars will hold up a flat solar panel that will not be parallel to the ground. The heights of pillars at $A,$ $B,$ and $C$ are $12,$ $9,$ and $10$ meters, respectively. What is the height, in meters, of the pillar at $E?$

$9$

$6\sqrt{3}$

$8\sqrt{3}$

$17$

$12\sqrt{3}$

Conceptos:geometría analítica polígono regular sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Un panel plano significa que la altura es lineal sobre el plano del suelo.

A flat panel means height is linear over the ground plane

Pista grande:

Usa coordenadas de hexágono regular y una función $ux+vy+w$ .

Use regular-hexagon coordinates and a function $ux+vy+w$

Solución:

Coloca un hexágono regular en coordenadas con $A=(-1,0),$ $B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),$ $C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),$ y $E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}).$ Como el panel solar es plano, la altura es una función afín $h(x,y)=ux+vy+w.$

A partir de $h(A)=12,$ $h(B)=9,$ y $h(C)=10,$ restando las dos últimas ecuaciones se obtiene $u=1.$ Entonces $-u+w=12,$ así que $w=13.$ Usando $h(B)=9$ se obtiene $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9,$ así que $\sqrt3v=-7.$

Por lo tanto $\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Put a regular hexagon in coordinates with $A=(-1,0),$ $B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),$ $C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),$ and $E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}).$ Because the solar panel is flat, the height is an affine function $h(x,y)=ux+vy+w.$

From $h(A)=12,$ $h(B)=9,$ and $h(C)=10,$ subtracting the last two equations gives $u=1.$ Then $-u+w=12,$ so $w=13.$ Using $h(B)=9$ gives $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9,$ so $\sqrt3v=-7.$

Therefore $\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

18.

El campo rectangular de un agricultor está dividido en una cuadrícula de $2$ por $2$ , con $4$ secciones rectangulares como se muestra en la figura. En cada sección el agricultor plantará un cultivo: maíz, trigo, soya o papas. El agricultor no quiere cultivar maíz y trigo en dos secciones que compartan un borde, y tampoco quiere cultivar soya y papas en dos secciones que compartan un borde. Con estas restricciones, ¿de cuántas maneras puede el agricultor elegir los cultivos para cada una de las cuatro secciones del campo?

A farmer’s rectangular field is partitioned into a $2$ by $2$ grid of $4$ rectangular sections as shown in the figure. In each section the farmer will plant one crop: corn, wheat, soybeans, or potatoes. The farmer does not want to grow corn and wheat in any two sections that share a border, and the farmer does not want to grow soybeans and potatoes in any two sections that share a border. Given these restrictions, in how many ways can the farmer choose crops to plant in each of the four sections of the field?

$12$

$64$

$84$

$90$

$144$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Distingue casos según si las dos secciones diagonales tienen el mismo cultivo.

Case on whether the two diagonal sections are the same crop

Pista grande:

Cada restricción de borde compartido elimina una opción de cultivo.

Each shared-border restriction removes one crop choice

Solución:

Hay $2$ casos.

Caso $1:$ las secciones superior derecha e inferior izquierda tienen el mismo cultivo

Hay $4$ opciones para el cultivo de esas secciones. Las otras dos secciones tienen $3$ opciones para el cultivo, ya que cada cultivo tiene una restricción con los cultivos vecinos. Esto nos da $4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$ combinaciones.

Caso $2:$ las secciones superior derecha e inferior izquierda tienen cultivos diferentes

Hay $4$ opciones para el cultivo de la sección superior derecha y $3$ opciones distintas para la sección inferior izquierda. Cada una de las otras dos secciones colinda con ambos cultivos, por lo que quedan $2$ opciones para cada una. Esto nos da otras $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48$ configuraciones.

En total, hay $36 + 48 = 84$ combinaciones.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $2$ cases.

Case $1:$ the top-right and bottom-left sections have the same crop

There are $4$ options for which crop is in those sections. The other two sections have $3$ options for the crop since each crop has one restriction for crops next to it. This gives us $4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$ combinations.

Case $2:$ the top-right and bottom-left sections have different crops

There are $4$ options for the top-right crop and $3$ different options for the bottom-left crop. Each of the other two sections borders both of these crops, leaving $2$ choices for each. This gives us another $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48$ configurations.

In total, there are $36 + 48 = 84$ combinations.

Thus, C is the correct answer.

19.

Un disco de radio $1$ rueda por completo alrededor del interior de un cuadrado de lado $s > 4$ y barre una región de área $A.$ Un segundo disco de radio $1$ rueda por completo alrededor del exterior del mismo cuadrado y barre una región de área $2A.$ El valor de $s$ se puede escribir como $a+\dfrac{b\pi}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $b$ y $c$ son primos relativos. ¿Cuánto vale $a+b+c$ ?

A disk of radius $1$ rolls all the way around the inside of a square of side length $s > 4$ and sweeps out a region of area $A.$ A second disk of radius $1$ rolls all the way around the outside of the same square and sweeps out a region of area $2A.$ The value of $s$ can be written as $a+\dfrac{b\pi}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ and $c$ are relatively prime. What is $a+b+c?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Conceptos:descomposición de áreas área del círculo

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Encuentra el área barrida en el interior como una banda de borde.

Find the swept area inside as a boundary band

Pista grande:

En el exterior, el área barrida son $4$ rectángulos más $4$ cuartos de círculo.

Outside, the swept area is $4$ rectangles plus $4$ quarter-circles

Solución:

La longitud del lado del cuadrado interior trazado por el disco interior es $s - 4.$

También quedan pequeñas piezas en las esquinas. Su área total es $(1 + 1)^2 - \pi 1^2 = 4 - \pi.$

Por tanto, $A = s^2 - (s - 4)^2 - (4 - \pi)$ $= 8s - 20 + \pi.$

El disco exterior traza una región compuesta por $4$ rectángulos y $4$ cuartos de círculo. Los rectángulos tienen área $s \cdot 2 = 2s$ y los cuartos de círculo forman un círculo de radio $2$ y área $4 \pi.$

Esto da $2A = 8s + 4 \pi.$

Al igualar las dos ecuaciones, obtenemos $8s + 4 \pi = 2(8s - 20 + \pi).$ Al resolver, $8s = 40 + 2 \pi$ $s = 5 + \dfrac{\pi}{4}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The side length of the inner square traced out by the inner circle is $s - 4.$

There are also the small pieces remaining in the corner. These form a total area of $(1 + 1)^2 - \pi 1^2 = 4 - \pi.$

Therefore, $A = s^2 - (s - 4)^2 - (4 - \pi)$ $= 8s - 20 + \pi.$

The outer disk traces out an area that is comprised of $4$ rectangles and $4$ quarter-circles. The rectangles have area $s \cdot 2 = 2s$ and the quarter-circles form a circle with radius $2$ and area $4 \pi.$

This gives us $2A = 8s + 4 \pi.$

Equating the two equations we get $8s + 4 \pi = 2(8s - 20 + \pi).$ Solving yields $8s = 40 + 2 \pi$ $s = 5 + \dfrac{\pi}{4}.$

Thus, A is the correct answer.

20.

¿Para cuántos pares ordenados $(b,c)$ de enteros positivos ninguna de las ecuaciones $x^2+bx+c=0$ ni $x^2+cx+b=0$ tiene dos soluciones reales distintas?

For how many ordered pairs $(b,c)$ of positive integers does neither $x^2+bx+c=0$ nor $x^2+cx+b=0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$12$

$16$

Conceptos:cuadrática desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Usa la condición del discriminante para cada cuadrática.

Use the discriminant condition for each quadratic

Pista grande:

Las desigualdades son $b^2\le4c$ y $c^2\le4b$ .

The inequalities are $b^2\le4c$ and $c^2\le4b$

Solución:

Una cuadrática no tiene dos soluciones reales distintas exactamente cuando su discriminante es no positivo. Así, necesitamos $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$ es decir, $b^2\le4c$ y $c^2\le4b.$

De $b^2\le4c,$ obtenemos $b^4\le16c^2.$ Combinando esto con $c^2\le4b$ se obtiene $b^4\le64b,$ así que $b\le4.$

Ahora comprueba $b=1,2,3,4.$ Las desigualdades dan respectivamente $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

Hay $2+2+1+1=6$ pares ordenados.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

A quadratic fails to have two distinct real solutions exactly when its discriminant is nonpositive. Thus we need $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$ or $b^2\le4c$ and $c^2\le4b.$

From $b^2\le4c,$ we get $b^4\le16c^2.$ Combining this with $c^2\le4b$ gives $b^4\le64b,$ so $b\le4.$

Now check $b=1,2,3,4.$ The inequalities give respectively $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

There are $2+2+1+1=6$ ordered pairs.

Thus, B is the correct answer.

21.

Cada una de $20$ bolas se arroja de manera independiente y al azar en uno de los $5$ recipientes. Sea $p$ la probabilidad de que algún recipiente termine con $3$ bolas, otro con $5$ bolas, y los otros tres con $4$ bolas cada uno. Sea $q$ la probabilidad de que cada recipiente termine con $4$ bolas. ¿Cuánto vale $\dfrac{p}{q}$ ?

Each of $20$ balls is tossed independently and at random into one of the $5$ bins. Let $p$ be the probability that some bin ends up with $3$ balls, another with $5$ balls, and the other three with $4$ balls each. Let $q$ be the probability that every bin ends up with $4$ balls. What is $\dfrac{p}{q}?$

$1$

$4$

$8$

$12$

$16$

Conceptos:combinaciones probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Las bolas y los recipientes pueden tratarse como distinguibles.

Balls and bins can be treated as distinguishable

Pista grande:

La mayoría de los factores factoriales se cancelan en el cociente $\frac{p}{q}$ .

Most factorial factors cancel in the ratio $\frac{p}{q}$

Solución:

Las $5^{20}$ asignaciones de las bolas distinguibles a los recipientes etiquetados son equiprobables. Para $q,$ el número de asignaciones es $\frac{20!}{(4!)^5}.$

Para $p,$ elegimos el recipiente con $3$ bolas y el recipiente con $5$ bolas de $5\cdot4$ maneras. El número de asignaciones es entonces $5\cdot4\cdot\frac{20!}{3!5!(4!)^3}.$

El denominador común de las probabilidades se cancela, así que $\frac pq=20\cdot\frac{(4!)^2}{3!5!}=20\cdot\frac45=16.$

Por tanto, E es la respuesta correcta.

All $5^{20}$ assignments of the distinguishable balls to the labeled bins are equally likely. For $q,$ the number of assignments is $\frac{20!}{(4!)^5}.$

For $p,$ choose the bin with $3$ balls and the bin with $5$ balls in $5\cdot4$ ways. The number of assignments is then $5\cdot4\cdot\frac{20!}{3!5!(4!)^3}.$

The common probability denominator cancels, so $\frac pq=20\cdot\frac{(4!)^2}{3!5!}=20\cdot\frac45=16.$

Thus, E is the correct answer.

22.

Dentro de un cono circular recto con radio de la base $5$ y altura $12$ hay tres esferas congruentes, cada una de radio $r.$ Cada esfera es tangente a las otras dos esferas y también tangente a la base y al lado del cono. ¿Cuánto vale $r$ ?

Inside a right circular cone with base radius $5$ and height $12$ are three congruent spheres each with radius $r.$ Each sphere is tangent to the other two spheres and also tangent to the base and side of the cone. What is $r?$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{90-40\sqrt{3}}{11}$

$2$

$\dfrac{144-25\sqrt{3}}{44}$

$\dfrac{5}{2}$

Conceptos:Geometría 3D cono esfera geometría analítica

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Los centros de las esferas forman un triángulo equilátero por encima de la base.

The sphere centers form an equilateral triangle above the base

Pista grande:

En una sección transversal axial, el lado del cono es $12\rho+5z=60$ .

In an axial cross-section, the cone side is $12\rho+5z=60$

Solución:

Sea el cono con la base en el plano $z=0,$ centro en el origen, y vértice sobre el eje $z$ . Los centros de las tres esferas forman un triángulo equilátero de lado $2r,$ así que un centro de esfera puede tomarse a distancia horizontal $\frac{2r}{\sqrt3}$ del eje del cono y altura $r$ sobre la base.

En la sección transversal axial que pasa por ese centro y el eje del cono, el lado del cono es la recta $12\rho+5z=60,$ donde $\rho$ es la distancia horizontal al eje. La distancia de $\left(\frac{2r}{\sqrt3},r\right)$ a esta recta debe ser $r$ : $r=\frac{60-12\cdot\frac{2r}{\sqrt3}-5r}{13}.$

Así, $(18+8\sqrt3)r=60,$ de modo que $r=\frac{60}{18+8\sqrt3}=\frac{90-40\sqrt3}{11}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the cone have base in the plane $z=0,$ center at the origin, and vertex on the $z$ -axis. The centers of the three spheres form an equilateral triangle of side $2r,$ so one sphere center may be taken at horizontal distance $\frac{2r}{\sqrt3}$ from the cone axis and height $r$ above the base.

In the axial cross-section through that center and the cone axis, the side of the cone is the line $12\rho+5z=60,$ where $\rho$ is horizontal distance from the axis. The distance from $\left(\frac{2r}{\sqrt3},r\right)$ to this line must be $r$ : $r=\frac{60-12\cdot\frac{2r}{\sqrt3}-5r}{13}.$

Thus $(18+8\sqrt3)r=60,$ so $r=\frac{60}{18+8\sqrt3}=\frac{90-40\sqrt3}{11}.$

Thus, B is the correct answer.

23.

Para cada entero positivo $n,$ sea $f_1(n)$ el doble del número de divisores enteros positivos de $n,$ y para $j \ge 2,$ sea $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ ¿Para cuántos valores de $n \le 50$ se cumple $f_{50}(n) = 12$ ?

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:conteo de factores recursión trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

$f_1(n)=12$ significa que $n$ tiene $6$ divisores.

$f_1(n)=12$ means $n$ has $6$ divisors

Pista grande:

Comprueba también $f_1(n)=18$ o $20,$ ya que estos se aplican a $12$ en el siguiente paso.

Also check $f_1(n)=18$ or $20,$ since those map to $12$ next

Solución:

El valor $12$ es un punto fijo de la función, ya que $12$ tiene $6$ divisores positivos y por lo tanto $f_1(12)=12.$

Primero encuentra todos los $n\le50$ con $f_1(n)=12,$ es decir, con $n$ que tiene $6$ divisores. Estos son $12,18,20,28,32,44,45,50.$

Ahora comprueba si $f_1(n)$ puede ser uno de estos valores antes de llegar a $12.$ Como $f_1(n)$ es el doble de un conteo de divisores, las únicas posibilidades útiles en esa lista son $18$ y $20,$ es decir, $n$ tiene $9$ o $10$ divisores.

Para $n\le50,$ las posibilidades adicionales son $36,$ que tiene $9$ divisores, y $48,$ que tiene $10$ divisores. Por lo tanto, hay $8+2=10$ valores de $n.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The value $12$ is fixed by the function, since $12$ has $6$ positive divisors and therefore $f_1(12)=12.$

First find all $n\le50$ with $f_1(n)=12,$ meaning $n$ has $6$ divisors. These are $12,18,20,28,32,44,45,50.$

Now check whether $f_1(n)$ can be one of these values before reaching $12.$ Since $f_1(n)$ is twice a divisor count, the only useful possibilities in that list are $18$ and $20,$ meaning $n$ has $9$ or $10$ divisors.

For $n\le50,$ the additional possibilities are $36,$ which has $9$ divisors, and $48,$ which has $10$ divisors. Therefore there are $8+2=10$ values of $n.$

Thus, D is the correct answer.

24.

Cada una de las $12$ aristas de un cubo se etiqueta con $0$ o $1.$ Dos etiquetados se consideran diferentes incluso si uno puede obtenerse del otro mediante una secuencia de una o más rotaciones y/o reflexiones. ¿Para cuántos de tales etiquetados la suma de las etiquetas en las aristas de cada una de las $6$ caras del cubo es igual a $2$ ?

Each of the $12$ edges of a cube is labeled $0$ or $1.$ Two labelings are considered different even if one can be obtained from the other by a sequence of one or more rotations and/or reflections. For how many such labelings is the sum of the labels on the edges of each of the $6$ faces of the cube equal to $2?$

$8$

$10$

$12$

$16$

$20$

Conceptos:arreglos con restricciones geometría del cubo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Etiqueta primero una cara y separa según las etiquetas de las aristas opuestas.

Label one face first and split by opposite edge labels

Pista grande:

Las aristas adyacentes elegidas obligan las etiquetas restantes a través de las sumas de las caras.

Chosen adjacent edges force the remaining labels through face sums

Solución:

Etiqueta una cara $ABCD.$ Cada cara debe contener dos $0$ y dos $1$ , así que primero separa según el patrón en las cuatro aristas de $ABCD.$

Caso $1:$ las aristas opuestas de $ABCD$ tienen la misma etiqueta. Hay $2$ de tales patrones en $ABCD.$ Para cualquiera de los patrones, una vez que se elige la etiqueta de una arista vertical, digamos $AE,$ las condiciones de suma de caras obligan todas las etiquetas restantes. Esto da $2\cdot2=4$ etiquetados.

Caso $2:$ las aristas opuestas de $ABCD$ tienen etiquetas diferentes. Hay $4$ de tales patrones en $ABCD.$ Para cada uno, las etiquetas de dos aristas verticales adyacentes pueden elegirse de $4$ maneras, y luego las etiquetas restantes quedan obligadas por las condiciones de suma de caras. Esto da $4\cdot4=16$ etiquetados.

El total es $4+16=20.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Label one face $ABCD.$ Each face must contain two $0$ s and two $1$ s, so first split by the pattern on the four edges of $ABCD.$

Case $1:$ opposite edges of $ABCD$ have the same label. There are $2$ such patterns on $ABCD.$ For either pattern, once the label of one vertical edge, say $AE,$ is chosen, the face-sum conditions force all remaining labels. This gives $2\cdot2=4$ labelings.

Case $2:$ opposite edges of $ABCD$ have different labels. There are $4$ such patterns on $ABCD.$ For each, the labels of two adjacent vertical edges may be chosen in $4$ ways, and then the remaining labels are forced by the face-sum conditions. This gives $4\cdot4=16$ labelings.

The total is $4+16=20.$

Thus, E is the correct answer.

25.

Un polinomio cuadrático $p(x)$ con coeficientes reales y coeficiente principal $1$ se llama irrespetuoso si la ecuación $p(p(x))=0$ se satisface exactamente por tres números reales. Entre todos los polinomios cuadráticos irrespetuosos, hay un único polinomio $\tilde{p}(x)$ para el cual la suma de las raíces es máxima. ¿Cuánto vale $\tilde{p}(1)$ ?

A quadratic polynomial $p(x)$ with real coefficients and leading coefficient $1$ is called disrespectful if the equation $p(p(x))=0$ is satisfied by exactly three real numbers. Among all the disrespectful quadratic polynomials, there is a unique such polynomial $\tilde{p}(x)$ for which the sum of the roots is maximized. What is $\tilde{p}(1)?$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$1$

$\dfrac{9}{8}$

Conceptos:cuadrática función optimización

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Si $r,s$ son raíces de $p,$ resuelve $p(x)=r$ y $p(x)=s$ .

If $r,s$ are roots of $p,$ solve $p(x)=r$ and $p(x)=s$

Pista grande:

Exactamente una de esas cuadráticas debe tener discriminante $0$ .

Exactly one of those quadratics must have discriminant $0$

Solución:

El polinomio debe tener dos raíces reales distintas: una raíz real doble produce a lo sumo dos soluciones reales de $p(p(x))=0,$ mientras que raíces no reales no producen ninguna. Sean $r$ y $s$ sus raíces, de modo que $\begin{aligned} p(x) &=(x-r)(x-s) \\ &=x^2-(r+s)x+rs. \end{aligned}$ La ecuación $p(p(x))=0$ es equivalente a $p(x)=r$ o $p(x)=s.$

Para exactamente tres soluciones reales, una de estas dos ecuaciones cuadráticas debe tener una raíz doble y la otra debe tener dos raíces reales distintas. Supón que $p(x)=r$ tiene la raíz doble. Su discriminante es $\begin{aligned} &(r+s)^2-4(rs-r) \\ &=(r-s)^2+4r, \end{aligned}$ así que $(r-s)^2=-4r,$ forzando $r\le0.$

La otra ecuación, $p(x)=s,$ tiene discriminante $(r-s)^2+4s$ $=-4r+4s$ $=4(s-r),$ que debe ser positivo. Por lo tanto $s\gt r,$ así que $r-s=-2\sqrt{-r}$ y $s=r+2\sqrt{-r}.$

La suma de las raíces es $r+s=2r+2\sqrt{-r}.$ Sea $u=\sqrt{-r},$ de modo que esto es $-2u^2+2u,$ maximizado en $u=\frac{1}{2}.$ Así, $r=-\frac{1}{4}$ y $s=\frac{3}{4}.$

Por lo tanto $p(x)=x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{16},$ y $p(1)=1-\frac{1}{2}-\frac{3}{16}=\frac{5}{16}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The polynomial must have two distinct real roots: a repeated real root produces at most two real solutions of $p(p(x))=0,$ while nonreal roots produce none. Let its roots be $r$ and $s,$ so $\begin{aligned} p(x) &=(x-r)(x-s) \\ &=x^2-(r+s)x+rs. \end{aligned}$ The equation $p(p(x))=0$ is equivalent to $p(x)=r$ or $p(x)=s.$

For exactly three real solutions, one of these two quadratic equations must have a double root and the other must have two distinct real roots. Suppose $p(x)=r$ has the double root. Its discriminant is $\begin{aligned} &(r+s)^2-4(rs-r) \\ &=(r-s)^2+4r, \end{aligned}$ so $(r-s)^2=-4r,$ forcing $r\le0.$

The other equation, $p(x)=s,$ has discriminant $(r-s)^2+4s$ $=-4r+4s$ $=4(s-r),$ which must be positive. Hence $s\gt r,$ so $r-s=-2\sqrt{-r}$ and $s=r+2\sqrt{-r}.$

The sum of the roots is $r+s=2r+2\sqrt{-r}.$ Let $u=\sqrt{-r},$ so this is $-2u^2+2u,$ maximized at $u=\frac{1}{2}.$ Thus $r=-\frac{1}{4}$ and $s=\frac{3}{4}.$

Therefore $p(x)=x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{16},$ and $p(1)=1-\frac{1}{2}-\frac{3}{16}=\frac{5}{16}.$

Thus, A is the correct answer.