Question

Arjun y Beth juegan a un juego en el que se turnan para quitar un ladrillo o dos ladrillos adyacentes de una "pared" entre un conjunto de varias paredes de ladrillos, donde los huecos pueden crear nuevas paredes. Las paredes tienen un ladrillo de altura. Por ejemplo, un conjunto de paredes de tamaños $4$ y $2$ puede transformarse en cualquiera de las siguientes con un movimiento: $(3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2)$ o $(1,1,2).$

Arjun juega primero, y el jugador que quita el último ladrillo gana. ¿Para qué configuración inicial existe una estrategia que garantiza la victoria de Beth?

Arjun and Beth play a game in which they take turns removing one brick or two adjacent bricks from one "wall" among a set of several walls of bricks, with gaps possibly creating new walls. The walls are one brick tall. For example, a set of walls of sizes $4$ and $2$ can be changed into any of the following by one move: $(3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2),$ or $(1,1,2).$

Arjun plays first, and the player who removes the last brick wins. For which starting configuration is there a strategy that guarantees a win for Beth?

$(6,1,1)$

$(6,2,1)$

$(6,2,2)$

$(6,3,1)$

$(6,3,2)$

Solución:

Para una sola pared de longitud $n$ , calcula su valor de Sprague-Grundy a partir de los movimientos posibles. Para las longitudes de pared necesarias aquí, los valores son

$\begin{aligned} &g(1)=1,\quad g(2)=2, \\ &g(3)=3,\quad g(4)=1, \\ &g(5)=4,\quad g(6)=3. \end{aligned}$

Para varias paredes, la posición es perdedora para el jugador en turno exactamente cuando el xor de los valores de las paredes es $0$ . Evaluando las opciones se obtiene

$(6,1,1): 3\oplus1\oplus1=3,$

$(6,2,1): 3\oplus2\oplus1=0,$

$(6,2,2): 3\oplus2\oplus2=3,$

$(6,3,1): 3\oplus3\oplus1=1,$

$(6,3,2): 3\oplus3\oplus2=2.$

Solo $(6,2,1)$ es perdedora para el jugador en turno, así que Beth tiene la victoria garantizada exactamente en esa configuración inicial.

Por lo tanto, la respuesta es B.

For a single wall of length $n$ , compute its Sprague-Grundy value from the possible moves. For the wall lengths needed here, the values are

$\begin{aligned} &g(1)=1,\quad g(2)=2, \\ &g(3)=3,\quad g(4)=1, \\ &g(5)=4,\quad g(6)=3. \end{aligned}$

For several walls, the position is losing for the player to move exactly when the xor of the wall values is $0$ . Evaluating the choices gives

$(6,1,1): 3\oplus1\oplus1=3,$

$(6,2,1): 3\oplus2\oplus1=0,$

$(6,2,2): 3\oplus2\oplus2=3,$

$(6,3,1): 3\oplus3\oplus1=1,$

$(6,3,2): 3\oplus3\oplus2=2.$

Only $(6,2,1)$ is losing for the player to move, so Beth has a guaranteed win exactly for that starting configuration.

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años