Question

Sea $T$ el triángulo del plano coordenado con vértices $(0,0), (4,0),$ y $(0,3).$ Considera las siguientes cinco isometrías (transformaciones rígidas) del plano: rotaciones de $90^{\circ}, 180^{\circ},$ y $270^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor del origen, reflexión respecto al eje $x$ , y reflexión respecto al eje $y$ . ¿Cuántas de las $125$ sucesiones de tres de estas transformaciones (no necesariamente distintas) devuelven $T$ a su posición original? (Por ejemplo, una rotación de $180^{\circ}$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de una reflexión respecto al eje $y$ devuelve $T$ a su posición original, pero una rotación de $90^{\circ}$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de otra reflexión respecto al eje $x$ no devuelve $T$ a su posición original.)

Let $T$ be the triangle in the coordinate plane with vertices $(0,0), (4,0),$ and $(0,3).$ Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of $90^{\circ}, 180^{\circ},$ and $270^{\circ}$ counterclockwise around the origin, reflection across the $x$ -axis, and reflection across the $y$ -axis. How many of the $125$ sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return $T$ to its original position? (For example, a $180^{\circ}$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by a reflection across the $y$ -axis will return $T$ to its original position, but a $90^{\circ}$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by another reflection across the $x$ -axis will not return $T$ to its original position.)

$12$

$15$

$17$

$20$

$25$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $R$ una rotación de $90^\circ$ , de modo que las rotaciones permitidas son $R,R^2,R^3$ . Sean $X$ y $Y$ las reflexiones respecto a los ejes coordenados. Una vez elegidas las dos primeras transformaciones, la tercera queda forzada a ser la inversa de su producto.

Las elecciones ordenadas de las dos primeras cuya tercera transformación forzada sigue estando en el conjunto permitido son $(R,R),$ $(R,R^2),$ $(R^2,R),$ $(R^2,R^3),$ $(R^3,R^2),$ $(R^3,R^3)$ , y $(R^2,X),$ $(R^2,Y),$ $(X,R^2),$ $(Y,R^2),$ $(X,Y),$ $(Y,X)$ . Hay $12$ de esas sucesiones. Así, A es la respuesta correcta.

Let $R$ be a $90^\circ$ rotation, so the allowed rotations are $R,R^2,R^3$ . Let $X$ and $Y$ be the reflections across the coordinate axes. Once the first two transformations are chosen, the third is forced to be the inverse of their product.

The ordered first-two choices whose forced third transformation is still in the allowed set are $(R,R),$ $(R,R^2),$ $(R^2,R),$ $(R^2,R^3),$ $(R^3,R^2),$ $(R^3,R^3)$ , and $(R^2,X),$ $(R^2,Y),$ $(X,R^2),$ $(Y,R^2),$ $(X,Y),$ $(Y,X)$ . There are $12$ such sequences. Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años