2009 AMC 10B — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Cada mañana de su semana laboral de cinco días, Jane compró un panecillo de $50$ centavos o un bagel de $75$ centavos. Su costo total de la semana fue un número entero de dólares. ¿Cuántos bagels compró?

Each morning of her five-day workweek, Jane bought either a $50$ -cent muffin or a $75$ -cent bagel. Her total cost for the week was a whole number of dollars. How many bagels did she buy?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular dinero

Nivel de dificultad: 720

Solución:

Si Jane compra $b$ bagels, compra $5-b$ panecillos, para un total de $50(5-b)+75b = 250+25b$ centavos. Esto es un número entero de dólares cuando $250+25b$ es un múltiplo de $100,$ es decir, cuando $25b\equiv50\pmod{100},$ o $b\equiv2\pmod4.$

El único valor con $0\le b\le5$ es $b=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If Jane buys $b$ bagels, she buys $5-b$ muffins, for a total of $50(5-b)+75b = 250+25b$ cents. This is a whole number of dollars when $250+25b$ is a multiple of $100,$ that is, when $25b\equiv50\pmod{100},$ or $b\equiv2\pmod4.$

The only value with $0\le b\le5$ is $b=2.$

Thus, the correct answer is B.

2.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a $\dfrac{\ \frac13-\frac14\ }{\ \frac12-\frac13\ }$ ?

Which of the following is equal to $\dfrac{\ \frac13-\frac14\ }{\ \frac12-\frac13\ }?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

Respuesta: C

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 720

Solución:

El mínimo común denominador de las fracciones pequeñas es $12,$ así que multiplica el numerador y el denominador por $12:$ $\dfrac{\frac13-\frac14}{\frac12-\frac13}=\dfrac{4-3}{6-4}=\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The least common denominator of the small fractions is $12,$ so multiply top and bottom by $12:$ $\dfrac{\frac13-\frac14}{\frac12-\frac13}=\dfrac{4-3}{6-4}=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is C.

3.

La pintora Paula tenía apenas suficiente pintura para $30$ habitaciones del mismo tamaño. Desafortunadamente, camino al trabajo, tres latas de pintura se cayeron de su camión, así que le quedó pintura solo para $25$ habitaciones. ¿Cuántas latas de pintura usó para las $25$ habitaciones?

Paula the painter had just enough paint for $30$ identically sized rooms. Unfortunately, on the way to work, three cans of paint fell off her truck, so she had only enough paint for $25$ rooms. How many cans of paint did she use for the $25$ rooms?

$10$

$12$

$15$

$18$

$25$

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción tasa

Nivel de dificultad: 870

Solución:

Las $3$ latas perdidas habrían pintado $30-25=5$ habitaciones, así que cada habitación necesita $\dfrac35$ de una lata.

Para $25$ habitaciones usó $\dfrac35\cdot25=15$ latas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The lost $3$ cans would have painted $30-25=5$ rooms, so each room takes $\dfrac35$ of a can.

For $25$ rooms she used $\dfrac35\cdot25=15$ cans.

Thus, the correct answer is C.

4.

Un patio rectangular contiene dos macizos de flores con forma de triángulos rectángulos isósceles congruentes. El resto del patio tiene forma de trapecio, como se muestra. Los lados paralelos del trapecio miden $15$ y $25$ metros. ¿Qué fracción del patio ocupan los macizos de flores?

A rectangular yard contains two flower beds in the shape of congruent isosceles right triangles. The remainder of the yard has a trapezoidal shape, as shown. The parallel sides of the trapezoid have lengths $15$ and $25$ meters. What fraction of the yard is occupied by the flower beds?

$\dfrac18$

$\dfrac16$

$\dfrac15$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo trapecio razón de áreas

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Los dos lados paralelos difieren en $25-15=10,$ repartido por igual entre los dos triángulos, así que cada triángulo rectángulo isósceles tiene catetos de longitud $5$ y área $\dfrac12\cdot5^2=\dfrac{25}{2}.$

Juntos, los macizos cubren $25$ metros cuadrados. El rectángulo tiene longitud $25$ y ancho $5,$ así que su área es $125.$ La fracción es $\dfrac{25}{125}=\dfrac15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two parallel sides differ by $25-15=10,$ split evenly between the two triangles, so each isosceles right triangle has legs of length $5$ and area $\dfrac12\cdot5^2=\dfrac{25}{2}.$

Together the beds cover $25$ square meters. The rectangle has length $25$ and width $5,$ so area $125.$ The fraction is $\dfrac{25}{125}=\dfrac15.$

Thus, the correct answer is C.

5.

El resultado de restar el veinte por ciento a $60$ es un tercio más que cierto número. ¿Cuál es ese número?

Twenty percent less than $60$ is one-third more than what number?

$16$

$30$

$32$

$36$

$48$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 870

Solución:

El veinte por ciento menos que $60$ es $\dfrac45\cdot60=48.$

Si $n$ es el número desconocido, un tercio más que $n$ es $\dfrac43 n,$ así que $\dfrac43 n=48$ $n=36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Twenty percent less than $60$ is $\dfrac45\cdot60=48.$

If $n$ is the unknown number, one-third more than $n$ is $\dfrac43 n,$ so $\dfrac43 n=48$ $n=36.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Kiana tiene dos hermanos gemelos mayores. El producto de sus tres edades es $128.$ ¿Cuál es la suma de sus tres edades?

Kiana has two older twin brothers. The product of their three ages is $128.$ What is the sum of their three ages?

$10$

$12$

$16$

$18$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos potencia de 2 edades

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Como $128=2^7,$ cada edad es una potencia de $2.$ Escribiendo la edad común de los gemelos como $t$ y la de Kiana como $k,$ necesitamos $t^2k=128$ con $k\lt t.$

Tomando $t=8$ obtenemos $k=2,$ que funciona. La suma es $8+8+2=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $128=2^7,$ every age is a power of $2.$ Writing the twins' common age as $t$ and Kiana's as $k,$ we need $t^2k=128$ with $k\lt t.$

Taking $t=8$ gives $k=2,$ which works. The sum is $8+8+2=18.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Insertando paréntesis, es posible dar a la expresión $2\times3+4\times5$ varios valores. ¿Cuántos valores diferentes se pueden obtener?

By inserting parentheses, it is possible to give the expression $2\times3+4\times5$ several values. How many different values can be obtained?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:orden de las operaciones enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Las tres operaciones pueden ordenarse de $3!=6$ maneras, pero realizar la suma primero o al final deja las dos multiplicaciones intercambiables, así que surgen a lo sumo cuatro valores.

En efecto, $\begin{gathered} (2\times3)+(4\times5)=26,\quad \\ (2\times3+4)\times5=50, \end{gathered}$ $\begin{gathered} 2\times(3+4\times5)=46,\quad \\ 2\times(3+4)\times5=70 \end{gathered}$ son cuatro valores distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The three operations can be ordered in $3!=6$ ways, but performing the addition first or last leaves the two multiplications interchangeable, so at most four values arise.

Indeed $\begin{gathered} (2\times3)+(4\times5)=26,\quad \\ (2\times3+4)\times5=50, \end{gathered}$ $\begin{gathered} 2\times(3+4\times5)=46,\quad \\ 2\times(3+4)\times5=70 \end{gathered}$ are four distinct values.

Thus, the correct answer is C.

8.

En cierto año, el precio de la gasolina subió $20\%$ durante enero, bajó $20\%$ durante febrero, subió $25\%$ durante marzo y bajó $x\%$ durante abril. El precio de la gasolina al final de abril fue el mismo que al comienzo de enero. Redondeando al entero más cercano, ¿cuánto vale $x$ ?

In a certain year the price of gasoline rose by $20\%$ during January, fell by $20\%$ during February, rose by $25\%$ during March, and fell by $x\%$ during April. The price of gasoline at the end of April was the same as it had been at the beginning of January. To the nearest integer, what is $x?$

$12$

$17$

$20$

$25$

$35$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Sea $p$ el precio inicial. Después de marzo el precio es $(1.2)(0.8)(1.25)p=1.2p.$ La bajada de abril debe devolverlo a $p,$ así que elimina $0.2p,$ una fracción $x=100\cdot\dfrac{0.2p}{1.2p}=\dfrac{100}{6}\approx16.7.$

Redondeando al entero más cercano, $x=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $p$ be the starting price. After March the price is $(1.2)(0.8)(1.25)p=1.2p.$ The April drop must return it to $p,$ so it removes $0.2p,$ a fraction $x=100\cdot\dfrac{0.2p}{1.2p}=\dfrac{100}{6}\approx16.7.$

To the nearest integer, $x=17.$

Thus, the correct answer is B.

9.

Los segmentos $BD$ y $AE$ se cortan en $C,$ como se muestra, $AB=BC=CD=CE,$ y $\angle A=\dfrac52\angle B.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle D$ ?

Segment $BD$ and $AE$ intersect at $C,$ as shown, $AB=BC=CD=CE,$ and $\angle A=\dfrac52\angle B.$ What is the degree measure of $\angle D?$

$52.5$

$55$

$57.5$

$60$

$62.5$

Respuesta: A

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Como $\triangle ABC$ es isósceles con $AB=BC,$ tenemos $\angle A=\angle C.$ Con $\angle A=\dfrac52\angle B,$ la suma de ángulos da $\dfrac52\angle B+\dfrac52\angle B+\angle B=180^\circ,$ así que $\angle B=30^\circ$ y $\angle ACB=75^\circ.$

Por ángulos opuestos por el vértice, $\angle DCE=75^\circ.$ Como $CD=CE,$ el triángulo $CDE$ es isósceles, así que $2\angle D+75^\circ=180^\circ,$ de donde $\angle D=52.5^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\triangle ABC$ is isosceles with $AB=BC,$ we have $\angle A=\angle C.$ With $\angle A=\dfrac52\angle B,$ the angle sum gives $\dfrac52\angle B+\dfrac52\angle B+\angle B=180^\circ,$ so $\angle B=30^\circ$ and $\angle ACB=75^\circ.$

By vertical angles $\angle DCE=75^\circ.$ Since $CD=CE,$ triangle $CDE$ is isosceles, so $2\angle D+75^\circ=180^\circ,$ giving $\angle D=52.5^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

10.

Un asta de bandera mide originalmente $5$ metros de altura. Un huracán la parte en un punto a $x$ metros del suelo, de modo que la parte superior, aún unida al tocón, toca el suelo a $1$ metro de la base. ¿Cuánto vale $x$ ?

A flagpole is originally $5$ meters tall. A hurricane snaps the flagpole at a point $x$ meters above the ground so that the upper part, still attached to the stump, touches the ground $1$ meter away from the base. What is $x?$

$2.0$

$2.1$

$2.2$

$2.3$

$2.4$

Respuesta: E

Conceptos:Teorema de Pitágoras triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

El tocón vertical tiene altura $x,$ y la parte partida de longitud $5-x$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $x$ y $1.$ Por el Teorema de Pitágoras, $\begin{aligned} x^2+1^2 &= (5-x)^2 \\ &= x^2-10x+25, \end{aligned}$ así que $10x=24$ y $x=2.4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The standing stump has height $x,$ and the snapped piece of length $5-x$ is the hypotenuse of a right triangle with legs $x$ and $1.$ By the Pythagorean Theorem, $\begin{aligned} x^2+1^2 &= (5-x)^2 \\ &= x^2-10x+25, \end{aligned}$ so $10x=24$ and $x=2.4.$

Thus, the correct answer is E.

11.

¿Cuántos palíndromos de $7$ dígitos (números que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) se pueden formar usando los dígitos $2, 2, 3, 3, 5, 5, 5$ ?

How many $7$ -digit palindromes (numbers that read the same backward as forward) can be formed using the digits $2, 2, 3, 3, 5, 5, 5?$

$6$

$12$

$24$

$36$

$48$

Respuesta: A

Conceptos:palíndromo permutaciones paridad

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Un palíndromo de $7$ dígitos tiene el dígito central usado una vez y los tres dígitos exteriores usados dos veces cada uno. Solo $5$ aparece un número impar de veces, así que $5$ debe ser el dígito central.

Los dígitos restantes $2,3,5$ llenan las primeras tres posiciones en algún orden y se reflejan en las últimas tres. Hay $3!=6$ ordenamientos de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A $7$ -digit palindrome has the form with the middle digit used once and the outer three digits each used twice. Only $5$ appears an odd number of times, so $5$ must be the middle digit.

The remaining digits $2,3,5$ fill the first three positions in some order and mirror to the last three. There are $3!=6$ such orderings.

Thus, the correct answer is A.

12.

Los puntos distintos $A, B, C,$ y $D$ están sobre una recta, con $AB=BC=CD=1.$ Los puntos $E$ y $F$ están sobre una segunda recta, paralela a la primera, con $EF=1.$ Un triángulo de área positiva tiene tres de los seis puntos como vértices. ¿Cuántos valores posibles hay para el área del triángulo?

Distinct points $A, B, C,$ and $D$ lie on a line, with $AB=BC=CD=1.$ Points $E$ and $F$ lie on a second line, parallel to the first, with $EF=1.$ A triangle with positive area has three of the six points as its vertices. How many possible values are there for the area of the triangle?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: A

Conceptos:área del triángulo rectas paralelas enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Un triángulo de área positiva usa dos puntos de una recta como base y un punto de la otra recta como vértice.

La altura es siempre la distancia fija entre las rectas, así que el área depende solo de la longitud de la base. Las bases sobre la primera recta pueden ser $1, 2,$ o $3;$ una base sobre la segunda recta es $1.$ Así que las longitudes de base distintas son $1, 2, 3,$ dando tres áreas posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A positive-area triangle uses two points on one line as its base and one point on the other line as its apex. The height is always the fixed distance between the lines, so the area depends only on the base length.

Bases on the first line can be $1, 2,$ or $3;$ a base on the second line is $1.$ So the distinct base lengths are $1, 2, 3,$ giving three possible areas.

Thus, the correct answer is A.

13.

Como se muestra abajo, el pentágono convexo $ABCDE$ tiene lados $AB=3,$ $BC=4,$ $CD=6,$ $DE=3,$ y $EA=7.$ El pentágono se coloca inicialmente en el plano con el vértice $A$ en el origen y el vértice $B$ sobre el semieje positivo de las $x$ . Luego el pentágono rueda en sentido horario hacia la derecha a lo largo del eje $x$ . ¿Qué lado tocará el punto $x=2009$ sobre el eje $x$ ?

As shown below, convex pentagon $ABCDE$ has sides $AB=3,$ $BC=4,$ $CD=6,$ $DE=3,$ and $EA=7.$ The pentagon is originally positioned in the plane with vertex $A$ at the origin and vertex $B$ on the positive $x$ -axis. The pentagon is then rolled clockwise to the right along the $x$ -axis. Which side will touch the point $x=2009$ on the $x$ -axis?

$\overline{AB}$

$\overline{BC}$

$\overline{CD}$

$\overline{DE}$

$\overline{EA}$

Respuesta: C

Conceptos:perímetro aritmética modular simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

El pentágono tiene perímetro $3+4+6+3+7=23.$ Una vuelta completa hace avanzar el punto de contacto en $23,$ y $2009=23\cdot87+8.$

Después de $87$ vueltas, el vértice $A$ queda en $x=23\cdot87=2001$ y $B$ en $2004.$ Rodando más, $C$ toca en $2004+4=2008$ y $D$ en $2008+6=2014.$

Como $2009$ está entre $2008$ y $2014,$ el lado $\overline{CD}$ toca ese punto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The pentagon has perimeter $3+4+6+3+7=23.$ One full roll advances the contact point by $23,$ and $2009=23\cdot87+8.$

After $87$ rolls, vertex $A$ sits at $x=23\cdot87=2001$ and $B$ at $2004.$ Rolling further, $C$ touches at $2004+4=2008$ and $D$ at $2008+6=2014.$

Since $2009$ lies between $2008$ and $2014,$ side $\overline{CD}$ touches that point.

Thus, the correct answer is C.

14.

El lunes, Millie pone un cuarto de galón de semillas, de las cuales el $25\%$ es mijo, en un comedero para pájaros. Cada día siguiente añade otro cuarto de galón de la misma mezcla de semillas sin retirar las semillas que quedan. Cada día los pájaros comen solo el $25\%$ del mijo del comedero, pero comen todas las demás semillas. ¿En qué día, justo después de que Millie ha puesto las semillas, encontrarán los pájaros que más de la mitad de las semillas del comedero son mijo?

On Monday, Millie puts a quart of seeds, $25\%$ of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only $25\%$ of the millet in the feeder, but they eat all of the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica recursión desigualdad

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Cada cuarto de galón añade $\dfrac14$ de cuarto de mijo, y los pájaros dejan $\dfrac34$ del mijo existente. En el día $n$ el mijo presente es $\begin{gathered} \dfrac14\left(1+\dfrac34+\cdots+\Big(\dfrac34\Big)^{n-1}\right) \\ = 1-\Big(\dfrac34\Big)^{n}. \end{gathered}$

Las demás semillas siempre suman $\dfrac34$ de cuarto de galón. El mijo supera la mitad cuando $1-\Big(\dfrac34\Big)^n\gt\dfrac34,$ es decir, $\Big(\dfrac34\Big)^n\lt\dfrac14.$

Como $\Big(\dfrac34\Big)^4=\dfrac{81}{256}\gt\dfrac14$ pero $\Big(\dfrac34\Big)^5=\dfrac{243}{1024}\lt\dfrac14,$ esto sucede por primera vez en el día $5,$ que es viernes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each quart adds $\dfrac14$ quart of millet, and the birds leave $\dfrac34$ of the standing millet. On day $n$ the millet present is $\begin{gathered} \dfrac14\left(1+\dfrac34+\cdots+\Big(\dfrac34\Big)^{n-1}\right) \\ = 1-\Big(\dfrac34\Big)^{n}. \end{gathered}$

The other seeds always total $\dfrac34$ quart. Millet exceeds half when $1-\Big(\dfrac34\Big)^n\gt\dfrac34,$ i.e. $\Big(\dfrac34\Big)^n\lt\dfrac14.$

Since $\Big(\dfrac34\Big)^4=\dfrac{81}{256}\gt\dfrac14$ but $\Big(\dfrac34\Big)^5=\dfrac{243}{1024}\lt\dfrac14,$ this first happens on day $5,$ which is Friday.

Thus, the correct answer is D.

15.

Cuando un balde está lleno de agua hasta dos tercios, el balde y el agua pesan $a$ kilogramos. Cuando el balde está lleno de agua hasta la mitad, el peso total es $b$ kilogramos. En términos de $a$ y $b,$ ¿cuál es el peso total en kilogramos cuando el balde está lleno de agua?

When a bucket is two-thirds full of water, the bucket and water weigh $a$ kilograms. When the bucket is one-half full of water the total weight is $b$ kilograms. In terms of $a$ and $b,$ what is the total weight in kilograms when the bucket is full of water?

$\dfrac23 a+\dfrac13 b$

$\dfrac32 a-\dfrac12 b$

$\dfrac32 a+b$

$\dfrac32 a+2b$

$3a-2b$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Sea $x$ el peso del balde y $y$ el peso de una carga completa de agua. Entonces $x+\dfrac23 y=a,\qquad x+\dfrac12 y=b.$

Restando obtenemos $\dfrac16 y=a-b,$ así que $y=6a-6b,$ y $x=b-\dfrac12 y=4b-3a.$ El balde lleno pesa $\begin{aligned} x+y &= (4b-3a)+(6a-6b) \\ &= 3a-2b. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x$ be the bucket's weight and $y$ the weight of a full load of water. Then $x+\dfrac23 y=a,\qquad x+\dfrac12 y=b.$

Subtracting gives $\dfrac16 y=a-b,$ so $y=6a-6b,$ and $x=b-\dfrac12 y=4b-3a.$ The full bucket weighs $\begin{aligned} x+y &= (4b-3a)+(6a-6b) \\ &= 3a-2b. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

16.

Los puntos $A$ y $C$ están sobre una circunferencia con centro en $O,$ los segmentos $\overline{BA}$ y $\overline{BC}$ son tangentes a la circunferencia, y $\triangle ABC$ es equilátero. La circunferencia corta a $\overline{BO}$ en $D.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{BD}{BO}$ ?

Points $A$ and $C$ lie on a circle centered at $O,$ each of $\overline{BA}$ and $\overline{BC}$ are tangent to the circle, and $\triangle ABC$ is equilateral. The circle intersects $\overline{BO}$ at $D.$ What is $\dfrac{BD}{BO}?$

$\dfrac{\sqrt2}{3}$

$\dfrac12$

$\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:recta tangente triángulo rectángulo especial círculo

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Sea $r$ el radio. Por simetría, $BO$ biseca el ángulo $60^\circ$ $ABC,$ así que $\angle OBC=30^\circ.$ Como $OC\perp BC,$ el triángulo $BCO$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ con hipotenusa $BO=2\,OC=2r.$

Entonces $BD=BO-OD=2r-r=r,$ así que $\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the radius be $r.$ By symmetry $BO$ bisects the $60^\circ$ angle $ABC,$ so $\angle OBC=30^\circ.$ Since $OC\perp BC,$ triangle $BCO$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle with hypotenuse $BO=2\,OC=2r.$

Then $BD=BO-OD=2r-r=r,$ so $\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Cinco cuadrados unitarios están dispuestos en el plano coordenado como se muestra, con la esquina inferior izquierda en el origen. La recta inclinada, que va de $(a,0)$ a $(3,3),$ divide toda la región en dos regiones de igual área. ¿Cuánto vale $a$ ?

Five unit squares are arranged in the coordinate plane as shown, with the lower left corner at the origin. The slanted line, extending from $(a,0)$ to $(3,3),$ divides the entire region into two regions of equal area. What is $a?$

$\dfrac12$

$\dfrac35$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

$\dfrac45$

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas geometría analítica

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Los cinco cuadrados unitarios tienen área total $5,$ así que cada región debe tener área $\dfrac52.$

La región a la parte inferior derecha de la recta es un triángulo rectángulo con catetos $3-a$ y $3,$ menos el cuadrado unitario que no cubre. Igualando su área a $\dfrac52$ obtenemos $\dfrac{3(3-a)}{2}-1=\dfrac52,$ así que $3(3-a)=7$ y $a=\dfrac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five unit squares have total area $5,$ so each region must have area $\dfrac52.$

The region to the lower right of the line is a right triangle with legs $3-a$ and $3,$ minus the one unit square it does not cover. Setting its area to $\dfrac52$ gives $\dfrac{3(3-a)}{2}-1=\dfrac52,$ so $3(3-a)=7$ and $a=\dfrac23.$

Thus, the correct answer is C.

18.

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=8$ y $BC=6.$ El punto $M$ es el punto medio de la diagonal $\overline{AC},$ y $E$ está sobre $\overline{AB}$ con $\overline{ME}\perp\overline{AC}.$ ¿Cuál es el área de $\triangle AME$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=8$ and $BC=6.$ Point $M$ is the midpoint of diagonal $\overline{AC},$ and $E$ is on $\overline{AB}$ with $\overline{ME}\perp\overline{AC}.$ What is the area of $\triangle AME?$

$\dfrac{65}{8}$

$\dfrac{25}{3}$

$9$

$\dfrac{75}{8}$

$\dfrac{85}{8}$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Por el Teorema de Pitágoras, $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10,$ así que $AM=5.$ Los triángulos rectángulos $AME$ y $ABC$ comparten el ángulo $A,$ por lo que son semejantes con $\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68,$ dando $ME=\dfrac{15}{4}.$

Entonces $\begin{gathered} \text{area}(\triangle AME)=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Pythagorean Theorem, $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10,$ so $AM=5.$ Right triangles $AME$ and $ABC$ share angle $A,$ so they are similar with $\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68,$ giving $ME=\dfrac{15}{4}.$

Then $\begin{gathered} \text{area}(\triangle AME)=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

19.

Un reloj digital de $12$ horas muestra la hora y el minuto de un día. Desafortunadamente, cada vez que debería mostrar un $1,$ muestra por error un $9.$ Por ejemplo, cuando es la 1:16 PM el reloj muestra incorrectamente 9:96 PM. ¿Qué fracción del día mostrará el reloj la hora correcta?

A particular $12$ -hour digital clock displays the hour and minute of a day. Unfortunately, whenever it is supposed to display a $1,$ it mistakenly displays a $9.$ For example, when it is 1:16 PM the clock incorrectly shows 9:96 PM. What fraction of the day will the clock show the correct time?

$\dfrac12$

$\dfrac58$

$\dfrac34$

$\dfrac56$

$\dfrac{9}{10}$

Respuesta: A

Conceptos:reloj dígitos conteo básico

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Entre las horas $1$ a $12,$ exactamente $1, 10, 11, 12$ contienen un $1,$ así que la hora es correcta $\dfrac{8}{12}=\dfrac23$ del tiempo.

Un minuto se muestra mal cuando su dígito de las decenas es $1$ (minutos $10$ a $19$ ) o su dígito de las unidades es $1$ ( $01,11,\dots,51$ ), que son $15$ de los $60$ minutos. Así que el minuto es correcto $\dfrac{45}{60}=\dfrac34$ del tiempo.

El reloj es correcto $\dfrac23\cdot\dfrac34=\dfrac12$ del día.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Among the hours $1$ through $12,$ exactly $1, 10, 11, 12$ contain a $1,$ so the hour is correct $\dfrac{8}{12}=\dfrac23$ of the time.

A minute is displayed wrong when its tens digit is $1$ (minutes $10$ – $19$ ) or its units digit is $1$ ( $01,11,\dots,51$ ), which is $15$ of the $60$ minutes. So the minute is correct $\dfrac{45}{60}=\dfrac34$ of the time.

The clock is correct $\dfrac23\cdot\dfrac34=\dfrac12$ of the day.

Thus, the correct answer is A.

20.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $B,$ $AB=1,$ y $BC=2.$ La bisectriz de $\angle BAC$ corta a $\overline{BC}$ en $D.$ ¿Cuánto vale $BD$ ?

Triangle $ABC$ has a right angle at $B,$ $AB=1,$ and $BC=2.$ The bisector of $\angle BAC$ meets $\overline{BC}$ at $D.$ What is $BD?$

$\dfrac{\sqrt3-1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5-1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5+1}{2}$

$\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$

$2\sqrt3-1$

Respuesta: B

Conceptos:teorema de la bisectriz Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Por el Teorema de Pitágoras, $AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$ El Teorema de la Bisectriz da $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},$ así que $DC=\sqrt5\,BD.$

Como $BD+DC=2,$ tenemos $BD(1+\sqrt5)=2,$ así que $BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the Pythagorean Theorem, $AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$ The Angle Bisector Theorem gives $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},$ so $DC=\sqrt5\,BD.$

Since $BD+DC=2,$ we have $BD(1+\sqrt5)=2,$ so $BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

21.

¿Cuál es el residuo cuando $3^0+3^1+3^2+\cdots+3^{2009}$ se divide entre $8$ ?

What is the remainder when $3^0+3^1+3^2+\cdots+3^{2009}$ is divided by $8?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$6$

Respuesta: D

Conceptos:aritmética modular sucesión geométrica emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Cuatro potencias consecutivas cualesquiera de $3$ suman un múltiplo de $3^0+3^1+3^2+3^3=40,$ que es divisible entre $8.$

Los términos desde $3^2$ hasta $3^{2009}$ se dividen en tales bloques y contribuyen con residuo $0.$ Lo que queda es $3^0+3^1=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Any four consecutive powers of $3$ sum to a multiple of $3^0+3^1+3^2+3^3=40,$ which is divisible by $8.$

The terms from $3^2$ to $3^{2009}$ split into such blocks and contribute remainder $0.$ What remains is $3^0+3^1=4.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Un pastel cúbico con arista de $2$ pulgadas está cubierto de glaseado en los lados y en la parte superior. Se corta verticalmente en tres piezas como se muestra en esta vista superior, donde $M$ es el punto medio de una arista superior. La pieza cuya parte superior es el triángulo $B$ contiene $c$ pulgadas cúbicas de pastel y $s$ pulgadas cuadradas de glaseado. ¿Cuánto vale $c+s$ ?

A cubical cake with edge length $2$ inches is iced on the sides and the top. It is cut vertically into three pieces as shown in this top view, where $M$ is the midpoint of a top edge. The piece whose top is triangle $B$ contains $c$ cubic inches of cake and $s$ square inches of icing. What is $c+s?$

$\dfrac{24}{5}$

$\dfrac{32}{5}$

$8+\sqrt5$

$5+\dfrac{16\sqrt5}{5}$

$10+5\sqrt5$

Respuesta: B

Conceptos:Geometría 3D semejanza volumen área de superficie

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Toma la cara superior como un cuadrado $2\times2$ . El corte desde $M$ hacia la esquina lejana crea el triángulo superior $A$ con catetos $1$ y $2,$ así que su área es $1$ e hipotenusa $\sqrt5.$

El triángulo $B$ es semejante a $A$ pero con hipotenusa $2,$ así que su área es $\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\right)^2\cdot1=\dfrac45.$ Como el pastel tiene altura $2,$ el volumen es $c=\dfrac45\cdot2=\dfrac85.$

El glaseado de esta pieza es su parte superior ( $\dfrac45$ ) más la cara lateral completa del cubo con la que limita ( $2\times2=4$ ), así que $s=\dfrac45+4=\dfrac{24}{5}.$ Por lo tanto, $c+s=\dfrac85+\dfrac{24}{5}=\dfrac{32}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Set the top face as a $2\times2$ square. The cut from $M$ toward the far corner creates the top triangle $A$ with legs $1$ and $2,$ so area $1$ and hypotenuse $\sqrt5.$

Triangle $B$ is similar to $A$ but with hypotenuse $2,$ so its area is $\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\right)^2\cdot1=\dfrac45.$ Since the cake has height $2,$ the volume is $c=\dfrac45\cdot2=\dfrac85.$

The icing on this piece is its top ( $\dfrac45$ ) plus the full cube side face it borders ( $2\times2=4$ ), so $s=\dfrac45+4=\dfrac{24}{5}.$ Therefore $c+s=\dfrac85+\dfrac{24}{5}=\dfrac{32}{5}.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Rachel y Robert corren en una pista circular. Rachel corre en sentido antihorario y completa una vuelta cada $90$ segundos, y Robert corre en sentido horario y completa una vuelta cada $80$ segundos. Ambos parten de la línea de salida al mismo tiempo. En algún instante aleatorio entre $10$ minutos y $11$ minutos después de empezar a correr, un fotógrafo situado dentro de la pista toma una foto que muestra un cuarto de la pista, centrada en la línea de salida. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Rachel como Robert aparezcan en la foto?

Rachel and Robert run on a circular track. Rachel runs counterclockwise and completes a lap every $90$ seconds, and Robert runs clockwise and completes a lap every $80$ seconds. Both start from the start line at the same time. At some random time between $10$ minutes and $11$ minutes after they begin to run, a photographer standing inside the track takes a picture that shows one-fourth of the track, centered on the starting line. What is the probability that both Rachel and Robert are in the picture?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac18$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac14$

$\dfrac{5}{16}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1920

Solución:

La foto abarca $\dfrac18$ de vuelta a cada lado de la salida. Después de $600$ segundos Rachel está a $30$ segundos de la línea; recorriendo $\dfrac14$ de vuelta en $22.5$ segundos, aparece a la vista entre los $30-11.25=18.75$ y los $30+11.25=41.25$ segundos del $10$ º minuto.

Después de $600$ segundos Robert está a $40$ segundos de la línea; recorriendo $\dfrac14$ de vuelta en $20$ segundos, aparece a la vista entre los $30$ y los $50$ segundos.

Ambos aparecen entre los $30$ y los $41.25$ segundos, una ventana de longitud $11.25$ de $60,$ así que la probabilidad es $\dfrac{11.25}{60}=\dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The picture spans $\dfrac18$ lap on each side of the start. After $600$ seconds Rachel is $30$ seconds short of the line; running $\dfrac14$ lap in $22.5$ seconds, she is in view between $30-11.25=18.75$ and $30+11.25=41.25$ seconds of the $10$ th minute.

After $600$ seconds Robert is $40$ seconds from the line; running $\dfrac14$ lap in $20$ seconds, he is in view between $30$ and $50$ seconds.

Both appear between $30$ and $41.25$ seconds, a window of length $11.25$ out of $60,$ so the probability is $\dfrac{11.25}{60}=\dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

24.

El arco de clave es un elemento arquitectónico antiguo. Está compuesto por trapecios isósceles congruentes unidos a lo largo de los lados no paralelos, como se muestra. Los lados inferiores de los dos trapecios de los extremos son horizontales. En un arco hecho con $9$ trapecios, sea $x$ la medida en grados del ángulo interior mayor del trapecio. ¿Cuánto vale $x$ ?

The keystone arch is an ancient architectural feature. It is composed of congruent isosceles trapezoids fitted together along the non-parallel sides, as shown. The bottom sides of the two end trapezoids are horizontal. In an arch made with $9$ trapezoids, let $x$ be the angle measure in degrees of the larger interior angle of the trapezoid. What is $x?$

$100$

$102$

$104$

$106$

$108$

Respuesta: A

Conceptos:polígono regular suma de ángulos simetría

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Agregar una imagen especular completa el arco en un anillo cerrado simétrico de $18$ trapecios. Sus bordes interiores forman un $18$ -ágono regular, cuyo ángulo interior es $\dfrac{(18-2)\cdot180^\circ}{18}=160^\circ.$

En cada vértice interior, dos de los ángulos mayores $x$ de los trapecios se encuentran con el ángulo $160^\circ$ alrededor de un giro completo: $x+x+160^\circ=360^\circ,$ así que $x=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding a mirror image completes the arch into a symmetric closed loop of $18$ trapezoids. Their inner edges form a regular $18$ -gon, each interior angle of which is $\dfrac{(18-2)\cdot180^\circ}{18}=160^\circ.$

At each inner vertex, two of the trapezoids' larger angles $x$ meet the $160^\circ$ angle around a full turn: $x+x+160^\circ=360^\circ,$ so $x=100.$

Thus, the correct answer is A.

25.

A cada cara de un cubo se le pinta una única franja estrecha desde el centro de una arista hasta el centro de su arista opuesta. La elección del par de aristas se hace al azar e independientemente para cada cara. ¿Cuál es la probabilidad de que haya una franja continua que rodee el cubo?

Each face of a cube is given a single narrow stripe painted from the center of one edge to the center of its opposite edge. The choice of the edge pairing is made at random and independently for each face. What is the probability that there is a continuous stripe encircling the cube?

$\dfrac18$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac14$

$\dfrac38$

$\dfrac12$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes simetría

Nivel de dificultad: 2090

Solución:

La franja de cada cara tiene $2$ orientaciones, dando $2^6=64$ configuraciones igualmente probables.

Una franja envolvente rodea uno de los $3$ pares de caras opuestas. Para una banda dada, las $4$ caras que atraviesa deben estar orientadas cada una para continuarla, una probabilidad de $\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac{1}{16}.$

Las tres bandas son mutuamente excluyentes, así que la probabilidad es $3\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each face's stripe has $2$ orientations, giving $2^6=64$ equally likely configurations.

An encircling stripe runs around one of the $3$ pairs of opposite faces. For a given band, the $4$ faces it crosses must each be oriented to continue it, a probability of $\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac{1}{16}.$

The three bands are mutually exclusive, so the probability is $3\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

Problemas del 2009 AMC 10B

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución: