Question

Kiana tiene dos hermanos gemelos mayores. El producto de sus tres edades es

128.

¿Cuál es la suma de sus tres edades?

Kiana has two older twin brothers. The product of their three ages is

128.

What is the sum of their three ages?

10

12

16

18

24

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos potencia de 2 edades

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Cada edad divide a

128=2^7,

y los gemelos comparten una edad.

Every age divides

128=2^7,

and the twins share one age

Pista grande:

Si los gemelos tienen

t

y Kiana tiene

k,

entonces

t^2 k=128

con

k\lt t

.

If the twins are

t

and Kiana is

k,

then

t^2 k=128

with

k\lt t

Solución:

Como

128=2^7,

cada edad es una potencia de

2.

Si

t

es la edad común de los gemelos y

k,

la edad de Kiana, necesitamos

t^2k=128

con

k\lt t.

Escribamos

t=2^j.

Entonces

k=2^{7-2j}.

Para que

k

sea una edad entera positiva, se requiere

7-2j\ge0,

así que

j\le3.

Como Kiana es menor que los gemelos,

7-2j\lt j,

y por ello

j\ge3.

Por lo tanto,

j=3,

lo que da

t=8

y

k=2.

La suma es

8+8+2=18.

Así, la respuesta correcta es D.

Since

128=2^7,

every age is a power of

2.

Writing the twins’ common age as

t

and Kiana’s as

k,

we need

t^2k=128

with

k\lt t.

Write

t=2^j.

Then

k=2^{7-2j}.

For

k

to be a positive integer age we need

7-2j\ge0,

so

j\le3.

Because Kiana is younger than the twins,

7-2j\lt j,

so

j\ge3.

Therefore

j=3,

giving

t=8

and

k=2.

The sum is

8+8+2=18.

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 10B Problema 6

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años