Question

Un círculo de radio $2$ está inscrito en un semicírculo, como se muestra. El área dentro del semicírculo pero fuera del círculo está sombreada. ¿Qué fracción del área del semicírculo está sombreada?

A circle of radius $2$ is inscribed in a semicircle, as shown. The area inside the semicircle but outside the circle is shaded. What fraction of the semicircle's area is shaded?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{2}{\pi}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{\pi}$

Solución:

El círculo inscrito se apoya en el diámetro y es tangente al arco, así que el semicírculo tiene radio $4.$ Su área es $\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi.$

El área del círculo es $\pi(2)^2 = 4\pi$ , así que el área sombreada es $8\pi - 4\pi = 4\pi$ .

La fracción sombreada es $\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12$ .

Así, la respuesta correcta es A.

The inscribed circle rests on the diameter and is tangent to the arc, so the semicircle has radius $4.$ Its area is $\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi.$

The circle's area is $\pi(2)^2 = 4\pi,$ so the shaded area is $8\pi - 4\pi = 4\pi.$

The shaded fraction is $\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12.$

Thus, the correct answer is A.

2009 AMC 10A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años