Question

A cada vértice de un cubo se le asigna un entero. El valor de una arista se define como la suma de los valores de los dos vértices que toca, y el valor de una cara se define como la suma de los valores de las cuatro aristas que la rodean. El valor del cubo se define como la suma de los valores de sus seis caras. Supón que la suma de los enteros asignados a los vértices es $21.$ ¿Cuál es el valor del cubo?

An integer is assigned to each vertex of a cube. The value of an edge is defined to be the sum of the values of the two vertices it touches, and the value of a face is defined to be the sum of the values of the four edges surrounding it. The value of the cube is defined as the sum of the values of its six faces. Suppose the sum of the integers assigned to the vertices is $21.$ What is the value of the cube?

$42$

$63$

$84$

$126$

$252$

Solución:

Cuenta por incidencias. Cada arista está en $2$ caras, así que los seis valores de las caras juntos son $2$ veces el total de todos los valores de las aristas. Cada vértice está en $3$ aristas, así que el valor total de las aristas es $3$ veces la suma de los vértices. Encadenando esto, el valor del cubo es $2 \cdot 3 \cdot 21 = 126.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Count by incidences. Each edge lies on $2$ faces, so the six face values together are $2$ times the total of all edge values. Each vertex lies on $3$ edges, so the total edge value is $3$ times the vertex sum. Chaining these, the cube's value is $2 \cdot 3 \cdot 21 = 126.$ Therefore, the answer is D.

2023 AMC 10A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años