Question

La recta $y = \tfrac{1}{3}x + 1$ divide la región cuadrada definida por $0 \le x \le 2$ y $0 \le y \le 2$ en una región superior y una región inferior. La recta $x = a$ divide la región inferior en dos regiones de igual área. Entonces $a$ se puede escribir como $\sqrt{s} - t,$ donde $s$ y $t$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $s + t$ ?

The line $y = \tfrac{1}{3}x + 1$ divides the square region defined by $0 \le x \le 2$ and $0 \le y \le 2$ into an upper region and a lower region. The line $x = a$ divides the lower region into two regions of equal area. Then $a$ can be written as $\sqrt{s} - t,$ where $s$ and $t$ are positive integers. What is $s + t?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

Solución:

La región inferior tiene área $\int_0^2\left(\tfrac{x}{3} + 1\right)dx = \tfrac{2}{3} + 2 = \tfrac{8}{3}.$ La franja con $0 \le x \le a$ es un trapecio de área $a + \tfrac{a^2}{6}.$ Queremos que sea la mitad del total, es decir $\tfrac{4}{3},$ así que $a^2 + 6a - 8 = 0$ y $a = -3 + \sqrt{17}.$ Entonces $s = 17,$ $t = 3,$ y $s + t = 20.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

The lower region has area $\int_0^2\left(\tfrac{x}{3} + 1\right)dx = \tfrac{2}{3} + 2 = \tfrac{8}{3}.$ The slice with $0 \le x \le a$ is a trapezoid of area $a + \tfrac{a^2}{6}.$ We want that to be half the total, namely $\tfrac{4}{3},$ so $a^2 + 6a - 8 = 0$ and $a = -3 + \sqrt{17}.$ Then $s = 17,$ $t = 3,$ and $s + t = 20.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10B Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años