Question

¿Cuántos de los primeros diez números de la sucesión $121, 11211, 1112111, \ldots$ son primos?

How many of the first ten numbers of the sequence $121, 11211, 1112111, \ldots$ are prime numbers?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: A

Conceptos:primo factorización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Expresa el término $n$ -ésimo como la suma de dos bloques superpuestos de $n+1$ unos

Express the $n$ th term as the sum of two overlapping blocks of $n+1$ ones

Pista grande:

Cada término de la sucesión tiene un patrón de factorización evidente.

Each term in the sequence has an obvious factorization pattern

Solución:

Afirmamos que ninguno de estos números puede ser primo.

El $n$ -ésimo número es $\sum_{k=0}^{2n} 10^k + 10^n = \sum_{k=0}^{n} 10^k +$ $\sum_{k=n}^{2n} 10^k =\sum_{k=0}^{n} 10^k + \sum_{k=0}^{n} 10^k \cdot 10^n$ $= (10^n+1)(\sum_{k=0}^{n} 10^k).$ Esto muestra que cada término es el producto de dos números mayores que $1,$ por lo que no hay primos.

Así, la respuesta es A.

We claim that none of these numbers can ever be prime.

We prove this claim by noticing that the $n$ th number is $\sum_{k=0}^{2n} 10^k + 10^n = \sum_{k=0}^{n} 10^k +$ $\sum_{k=n}^{2n} 10^k =\sum_{k=0}^{n} 10^k + \sum_{k=0}^{n} 10^k \cdot 10^n$ $= (10^n+1)(\sum_{k=0}^{n} 10^k).$ This shows that the number can be written as the product of two numbers greater than $1,$ so there are no primes.

Thus, the answer is A .

2022 AMC 10B Problema 6

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años