Question

¿Para cuántos valores de la constante $k$ el polinomio $x^{2}+kx+36$ tiene dos raíces enteras distintas?

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^{2}+kx+36$ have two distinct integer roots?

$\ 6$

$\ 8$

$\ 9$

$\ 14$

$\ 16$

Solución:

Sean las raíces $r,s$ . Entonces: $\begin{align*}&x^2+kx+36 \\ &= (x-r)(x-s) \\&= x^2-(r+s)x+rs \end{align*}$ Así, $rs = 36$ y $r + s = -k$ .

Por lo tanto, necesitamos que $r$ y $s$ sean distintos y cumplan $rs = 36$ . Todos los pares de factores posibles son $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ y $\pm\{4,9\}.$

Cada uno de estos pares no ordenados produce un valor único de $k$ , así que hay $8$ valores posibles de $k$ .

Así, la respuesta correcta es B.

Let the roots be $r,s.$ Then: $\begin{align*}&x^2+kx+36 \\ &= (x-r)(x-s) \\&= x^2-(r+s)x+rs \end{align*}$ And so, $rs = 36$ and $r + s = -k.$

Therefore, we need $r$ and $s$ distinct such that $rs = 36.$ All the possible factor pairs are $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ and $\pm\{4,9\}.$

Each of these unordered pairs produces a unique value for $k,$ so there are $8$ possible values for $k.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años