Question

En el rectángulo $ABCD,$ $AD = 1,$ $P$ está sobre $\overline{AB},$ y $\overline{DB}$ y $\overline{DP}$ trisecan $\angle ADC.$ ¿Cuál es el perímetro del $\triangle BDP$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AD = 1,$ $P$ is on $\overline{AB},$ and $\overline{DB}$ and $\overline{DP}$ trisect $\angle ADC.$ What is the perimeter of $\triangle BDP?$

$3 + \dfrac{\sqrt3}{3}$

$2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}$

$2 + 2\sqrt2$

$\dfrac{3 + 3\sqrt5}{2}$

$2 + \dfrac{5\sqrt3}{3}$

Solución:

El ángulo recto $\angle ADC = 90^\circ$ se triseca en tres ángulos de $30^\circ$ , por lo que $\angle ADP = 30^\circ$ y $\angle ADB = 60^\circ.$

En el triángulo rectángulo $ADP,$ con $AD = 1,$ se obtiene $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ y $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}.$

En el triángulo rectángulo $ADB,$ con $AD = 1,$ se obtiene $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ y $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3.$

Entonces $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$

El perímetro del $\triangle BDP$ es $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The right angle $\angle ADC = 90^\circ$ is trisected into three $30^\circ$ angles, so $\angle ADP = 30^\circ$ and $\angle ADB = 60^\circ.$

In right triangle $ADP,$ with $AD = 1,$ we get $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ and $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}.$

In right triangle $ADB,$ with $AD = 1,$ we get $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ and $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3.$

Then $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$

The perimeter of $\triangle BDP$ is $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 10 Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años