Question

Supón que $a$ y $b$ son números reales. Cuando el polinomio $x^3 + x^2 + ax + b$ se divide entre $x - 1,$ el resto es $4.$ Cuando el polinomio se divide entre $x - 2,$ el resto es $6.$ ¿Cuánto vale $b - a$ ?

Suppose $a$ and $b$ are real numbers. When the polynomial $x^3 + x^2 + ax + b$ is divided by $x - 1,$ the remainder is $4.$ When the polynomial is divided by $x - 2,$ the remainder is $6.$ What is $b - a?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Solución:

Por el teorema del resto, basta con sustituir. Obtenemos $p(1) = 1 + 1 + a + b = 4,$ así que $a + b = 2.$ Y $p(2) = 8 + 4 + 2a + b = 6,$ así que $2a + b = -6.$ Resta la primera de la segunda: $a = -8,$ de donde $b = 10.$ Entonces $b - a = 10 - (-8) = 18.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

By the Remainder Theorem, just plug in. We get $p(1) = 1 + 1 + a + b = 4,$ so $a + b = 2.$ And $p(2) = 8 + 4 + 2a + b = 6,$ so $2a + b = -6.$ Subtract the first from the second: $a = -8,$ hence $b = 10.$ Then $b - a = 10 - (-8) = 18.$ Thus, E is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años