Question

Los números reales no nulos $x,$ $y,$ $a,$ y $b$ satisfacen $x < a$ y $y < b.$ ¿Cuántas de las siguientes desigualdades deben ser verdaderas?

(I) $x + y \lt a + b$

(II) $x - y \lt a - b$

(III) $xy \lt ab$

(IV) $\dfrac{x}{y} \lt \dfrac{a}{b}$

Nonzero real numbers $x,$ $y,$ $a,$ and $b$ satisfy $x < a$ and $y < b.$ How many of the following inequalities must be true?

(I) $x + y \lt a + b$

(II) $x - y \lt a - b$

(III) $xy \lt ab$

(IV) $\dfrac{x}{y} \lt \dfrac{a}{b}$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Sumando las dos desigualdades obtenemos

$x + y \lt a + b,$ lo que muestra que (I) es correcta.

No se pueden restar desigualdades, así que (II) no es necesariamente verdadera.

Considera $x = 1,$ $y = 1,$ $a = 2,$ y $b = 3$ como contraejemplo. Esto nos daría $0 \lt -1.$

(III) tampoco es siempre verdadera, ya que $x$ e $y$ podrían ser números negativos.

Sea $x = -3,$ $y = -2,$ $a = 1,$ y $b = 1.$ Entonces $xy = 6$ y $ab = 1$ , lo que muestra que (III) es falsa.

Lo mismo ocurre con (IV) . Usando los mismos valores anteriores, tenemos $\dfrac{x}{y} = 1.5$ y $\dfrac{a}{b} = 1.$

Esto muestra que (I) es la única afirmación verdadera.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Adding the two inequalities together gets us

$x + y \lt a + b,$ which shows that (I) is correct.

One cannot subtract inequalities, which means that (II) is not necessarily true.

Consider $x = 1,$ $y = 1,$ $a = 2,$ and $b = 3$ as a counter-example. This would give us $0 \lt -1.$

(III) is also not always true, since $x$ and $y$ might be negative numbers.

Let $x = -3,$ $y = -2,$ $a = 1,$ and $b = 1.$ Then $xy = 6$ and $ab = 1$ which shows that (III) is wrong.

The same thing occurs with (IV) . Using the same values as above, we have $\dfrac{x}{y} = 1.5$ and $\dfrac{a}{b} = 1.$

This shows that (I) is the only true statement.

Thus, B is the correct answer.