Question

En la figura de abajo, se dibujan $N$ semicírculos congruentes a lo largo de un diámetro de un semicírculo grande, con sus diámetros cubriendo el diámetro del semicírculo grande sin superposición. Sea $A$ el área combinada de los semicírculos pequeños y $B$ el área de la región dentro del semicírculo grande pero fuera de los semicírculos pequeños. La razón $A : B$ es $1 : 18.$ ¿Cuánto vale $N$ ?

In the figure below, $N$ congruent semicircles are drawn along a diameter of a large semicircle, with their diameters covering the diameter of the large semicircle with no overlap. Let $A$ be the combined area of the small semicircles and $B$ be the area of the region inside the large semicircle but outside the small semicircles. The ratio $A : B$ is $1 : 18.$ What is $N?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$36$

Solución:

Sea el radio de cada semicírculo pequeño igual a $r.$ Los $N$ diámetros cubren el diámetro grande, así que el radio grande es $Nr.$ Entonces $A = N \cdot \tfrac12 \pi r^2,$ y el semicírculo grande tiene área $\tfrac12 \pi (Nr)^2,$ por lo que la región restante es $B = \tfrac12 \pi r^2(N^2 - N).$ Esto da $A : B = N : N(N-1)$ $= 1 : (N-1).$ Pon $N - 1 = 18,$ y $N = 19.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let each small semicircle have radius $r.$ The $N$ diameters cover the big diameter, so the large radius is $Nr.$ Then $A = N \cdot \tfrac12 \pi r^2,$ and the large semicircle has area $\tfrac12 \pi (Nr)^2,$ so the leftover region is $B = \tfrac12 \pi r^2(N^2 - N).$ This gives $A : B = N : N(N-1)$ $= 1 : (N-1).$ Set $N - 1 = 18,$ and $N = 19.$ Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años