Question

El producto de tres enteros es $60.$ ¿Cuál es el menor valor positivo posible de la suma de los tres enteros?

The product of three integers is $60.$ What is the least possible positive sum of the three integers?

$2$

$3$

$5$

$6$

$13$

Solución:

Un producto positivo proviene de tres enteros positivos, o de uno positivo y dos negativos. Tres enteros positivos tienen suma al menos $3$ . En el segundo caso escribimos los números como $-x,-y,z$ , donde $x,y,z$ son positivos y $xyz=60$ . Una suma positiva requiere $z \gt x+y \ge 2\sqrt{xy}$ , así que $60/(xy) \gt 2\sqrt{xy}$ , de donde $xy \lt 10$ . Al revisar los pares de factores de $60$ con $xy \lt 10$ , el menor valor positivo de $z-x-y$ ocurre en $(x,y,z)=(1,6,10)$ y vale $3$ . Así $(-1)(-6)(10)=60$ , y la menor suma positiva es $3$ . Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

A positive product comes from three positive integers or one positive and two negative integers. Three positive integers have sum at least $3$ . In the second case write the numbers as $-x,-y,z$ , where $x,y,z$ are positive and $xyz=60$ . A positive sum requires $z \gt x+y \ge 2\sqrt{xy}$ , so $60/(xy) \gt 2\sqrt{xy}$ , hence $xy \lt 10$ . Checking factor pairs of $60$ with $xy \lt 10$ , the least positive value of $z-x-y$ occurs at $(x,y,z)=(1,6,10)$ and equals $3$ . Thus $(-1)(-6)(10)=60$ , and the least positive sum is $3$ . Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años