Question

Dos rectas con pendientes $\frac{1}{2}$ y $2$ se cortan en $(2, 2)$ . ¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta $x + y = 10$ ?

Two lines with slopes $\frac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

Solución:

Primero hallemos las ecuaciones de las dos rectas. Usando la forma pendiente-intersección, sabemos que tienen la forma $y = ax + b$ .

Para la primera recta, sabemos que $a = \dfrac{1}{2}$ , por lo que obtenemos $2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + b$ $b = 1.$

De manera similar, para la segunda recta obtenemos $a = 2$ , lo que nos da $2 = 2 \cdot 2 + b$ $b = -2.$

Nuestras dos rectas son ahora $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ y $y = 2x - 2$ .

Podemos reescribir $x + y = 10$ como $y = 10 - x$ . Sustituyendo esto en la primera recta se obtiene $10 - x = \dfrac{1}{2}x + 1$ $x = 6, y = 4.$

De manera similar, para la segunda recta, $10 - x = 2x - 2$ $x = 4, y = 6.$

Por lo tanto, los tres vértices del triángulo son $(2, 2), (6, 4)$ y $(4, 6)$ .

Observa que estos vértices forman un triángulo isósceles; la fórmula de la distancia da los tres lados como $2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}$ y $2\sqrt{2}$ .

El punto medio de la base es $(5, 5)$ , y aplicando de nuevo la fórmula de la distancia obtenemos que la altura es $3\sqrt{2}$ .

$\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 6.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let us first find the equations of the two lines. Using slope-intercept form, we know they are the form $y = ax + b.$

For the first line, we know that $a = \dfrac{1}{2},$ so we get $2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + b$ $b = 1.$

Similarly, for the second line, we get that $a = 2,$ which gives us $2 = 2 \cdot 2 + b$ $b = -2.$

Our two lines are now $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ and $y = 2x - 2.$

We can rewrite $x + y = 10$ as $y = 10 - x.$ Substituting this into the first line yields $10 - x = \dfrac{1}{2}x + 1$ $x = 6, y = 4.$

Similarly, for the second line, $10 - x = 2x - 2$ $x = 4, y = 6.$

The three vertices of the triangle are therefore $(2, 2), (6, 4),$ and $(4, 6).$

Note that these vertices form an isosceles triangle (distance formula yields the three sides as $2\sqrt{5}, 2\sqrt{5},$ and $2\sqrt{2}.$

The midpoint of the base is $(5, 5),$ and applying the distance formula again tells us that the height is $3\sqrt{2}.$

The area is therefore $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 6.$ Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años