Question

¿Para cuántos de los siguientes tipos de cuadriláteros existe un punto en el plano del cuadrilátero que sea equidistante de los cuatro vértices del cuadrilátero?

• un cuadrado

• un rectángulo que no es un cuadrado

• un rombo que no es un cuadrado

• un paralelogramo que no es un rectángulo ni un rombo

• un trapecio isósceles que no es un paralelogramo

For how many of the following types of quadrilaterals does there exist a point in the plane of the quadrilateral that is equidistant from all four vertices of the quadrilateral?

• a square

• a rectangle that is not a square

• a rhombus that is not a square

• a parallelogram that is not a rectangle or a rhombus

• an isosceles trapezoid that is not a parallelogram

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Observa que si un punto es equidistante de todos los vértices, entonces ese punto es el centro de la circunferencia circunscrita de la figura, y el cuadrilátero debe ser cíclico.

La pregunta se convierte entonces en cuáles de estas figuras son cíclicas (tienen circunferencia circunscrita). Una condición que podemos usar es que los ángulos opuestos sean suplementarios.

Claramente, un cuadrado y un rectángulo que no es cuadrado funcionan (los ángulos opuestos son rectos y suman $180^{\circ}$ ).

Un rombo que no es cuadrado no funciona, ya que los ángulos opuestos son iguales, pero no son $90^{\circ}.$

Un paralelogramo que no es rectángulo ni rombo enfrenta el mismo problema, por lo que tampoco es cíclico.

Un trapecio isósceles que no es paralelogramo tiene, por definición, ángulos opuestos suplementarios, por lo que es cíclico.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that if a point is equidistant from all the vertices, then that point is the center of the shape's circumcircle.

The question then becomes which of these shapes is cyclic (has a circumcircle). One condition that we can use is that opposite angles are supplementary.

Clearly, a square and rectangle that is not a square work (opposite angles are right, adding up to $180^{\circ}$ ).

A rhombus that is not a square does not work, since opposite angles are equal, but they are not $90^{\circ}.$

A parallelogram that is not a rectangle or a rhombus faces the same problem as above, making it not cyclic as well.

An isosceles trapezoid that is not a parallelogram by definition has supplementary opposite angles, making it cyclic.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años