Question

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es $45$ ?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is $45?$

$9$

$25$

$45$

$90$

$120$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética argumento extremal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Un bloque largo de enteros consecutivos puede centrarse alrededor de cero.

A long consecutive block can be centered around zero

Pista grande:

Usa la divisibilidad de $90$ entre el número de términos.

Use divisibility of $90$ by the number of terms

Solución:

Supongamos que hay $k$ enteros consecutivos con primer término $a$ . Su suma es $\dfrac{k(2a+k-1)}{2}=45$ , así que $k$ debe dividir a $90$ . Por lo tanto, el número de términos no puede exceder $90$ .

Esta cota se alcanza con $-44, -43, \cdots, 44, 45$ que tiene $90$ términos y suma $45$ .

Así, la mayor cantidad posible de enteros consecutivos es $90$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Suppose there are $k$ consecutive integers with first term $a.$ Their sum is $\dfrac{k(2a+k-1)}{2}=45,$ so $k$ must divide $90.$ Therefore the number of terms cannot exceed $90.$

This bound is attained by $-44, -43, \cdots, 44, 45$ which has $90$ terms and sum $45.$

Thus the greatest possible number of consecutive integers is $90.$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 5

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años