Question

Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $PA$ y $PB$ del $\triangle PAB.$ A medida que $P$ se mueve a lo largo de una recta paralela al lado $AB,$ ¿cuántas de las cuatro cantidades que se enumeran a continuación cambian?

(a) la longitud del segmento $MN;$ (b) el perímetro del $\triangle PAB;$ (c) el área del $\triangle PAB;$ (d) el área del trapecio $ABNM.$

Points $M$ and $N$ are the midpoints of sides $PA$ and $PB$ of $\triangle PAB.$ As $P$ moves along a line that is parallel to side $AB,$ how many of the four quantities listed below change?

(a) the length of the segment $MN;$ (b) the perimeter of $\triangle PAB;$ (c) the area of $\triangle PAB;$ (d) the area of trapezoid $ABNM.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Como $MN$ es una base media, $MN = \tfrac12 AB,$ que es fijo.

La base $AB$ y la altura desde $P$ hasta $AB$ son ambas constantes mientras $P$ se desliza a lo largo de la recta paralela, por lo que el área del $\triangle PAB$ no cambia. El trapecio $ABNM$ es el triángulo menos el $\triangle PMN,$ y las áreas de ambos son constantes, así que su área tampoco cambia.

Solo el perímetro cambia, ya que $PA$ y $PB$ varían al moverse $P$ . Así que exactamente una cantidad cambia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $MN$ is a midsegment, $MN = \tfrac12 AB,$ which is fixed.

The base $AB$ and the height from $P$ to $AB$ are both constant as $P$ slides along the parallel line, so the area of $\triangle PAB$ does not change. The trapezoid $ABNM$ is the triangle minus $\triangle PMN,$ both of whose areas are constant, so its area does not change either.

Only the perimeter changes, since $PA$ and $PB$ vary as $P$ moves. So exactly one quantity changes.

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 10 Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años