Question

Cada uno de los círculos pequeños de la figura tiene radio uno. El círculo más interno es tangente a los seis círculos que lo rodean, y cada uno de esos círculos es tangente al círculo grande y a sus círculos pequeños vecinos. Halla el área de la región sombreada.

Each of the small circles in the figure has radius one. The innermost circle is tangent to the six circles that surround it, and each of those circles is tangent to the large circle and to its small-circle neighbors. Find the area of the shaded region.

$\pi$

$1.5\pi$

$2\pi$

$3\pi$

$3.5\pi$

Solución:

El centro de un círculo que rodea está a $2$ del centro (dos radios), y al sumar su propio radio $1$ se obtiene un radio grande de $3.$

El círculo grande tiene área $9\pi,$ y los siete círculos unitarios tienen área total $7\pi,$ así que la región sombreada es $9\pi-7\pi=2\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The center of a surrounding circle is $2$ from the center (two radii), and adding its own radius $1$ gives a large radius of $3.$

The large circle has area $9\pi,$ and the seven unit circles have total area $7\pi,$ so the shaded region is $9\pi-7\pi=2\pi.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 10A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años