Question

El producto de dos números positivos es $9.$ El recíproco de uno de estos números es $4$ veces el recíproco del otro número. ¿Cuál es la suma de los dos números?

The product of two positive numbers is $9.$ The reciprocal of one of these numbers is $4$ times the reciprocal of the other number. What is the sum of the two numbers?

$\dfrac{10}{3}$

$\dfrac{20}{3}$

$7$

$\dfrac{15}{2}$

$8$

Solución:

Sean los dos números $x$ y $y$ tales que $xy = 9 \text{ and } \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{y}.$

Obtenemos que $y = \dfrac{9}{x}$ $\dfrac{1}{x} = \dfrac{4x}{9}.$ $x = \dfrac{3}{2},$ ya que $x$ es positivo.

Entonces $y = 9 \div \dfrac{3}{2} = 6.$

La suma buscada es entonces $6 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the two numbers be $x$ and $y$ such that $xy = 9 \text{ and } \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{y}.$

We get that $y = \dfrac{9}{x}$ $\dfrac{1}{x} = \dfrac{4x}{9}.$ $x = \dfrac{3}{2},$ since $x$ is positive.

Then $y = 9 \div \dfrac{3}{2} = 6.$

The desired sum is then $6 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}.$

Thus, D is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años