Question

¿Cuál de los siguientes números es un cuadrado perfecto?

Which of the following numbers is a perfect square?

$98! \cdot 99!$

$98! \cdot 100!$

$99! \cdot 100!$

$99! \cdot 101!$

$100! \cdot 101!$

Solución:

Para $m \lt n,$ tenemos $m! \cdot n!$ $= (m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n,$ que es un cuadrado perfecto precisamente cuando $(m+1)\cdots n$ es un cuadrado perfecto.

Para las cinco opciones este factor sobrante es $99,$ $99 \cdot 100,$ $100,$ $100 \cdot 101,$ y $101.$ Solo $100 = 10^2$ es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ es el cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $m \lt n,$ we have $m! \cdot n!$ $= (m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n,$ which is a perfect square precisely when $(m+1)\cdots n$ is a perfect square.

For the five choices this leftover factor is $99,$ $99 \cdot 100,$ $100,$ $100 \cdot 101,$ and $101.$ Only $100 = 10^2$ is a perfect square.

Therefore $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ is the perfect square.

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 10B Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años