Question

En un triángulo equilátero, cada ángulo interior es trisecado por un par de rayos. La intersección de los interiores del ángulo central de $20^\circ$ en cada vértice es el interior de un hexágono convexo. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo más pequeño de este hexágono?

In an equilateral triangle each interior angle is trisected by a pair of rays. The intersection of the interiors of the middle $20^\circ$ -angle at each vertex is the interior of a convex hexagon. What is the degree measure of the smallest angle of this hexagon?

$80$

$90$

$100$

$110$

$120$

Solución:

Etiqueta el triángulo equilátero como $ABC.$ Cada ángulo de $60^\circ$ se divide en tres partes de $20^\circ$ . Toma los trisectores más externos desde $A$ y $B$ : se encuentran formando ángulos de base $\tfrac23 \cdot 60^\circ = 40^\circ,$ así que el vértice del hexágono ahí tiene ángulo $180^\circ - 2\cdot 40^\circ = 100^\circ.$ Los trisectores más internos desde $A$ y $B$ se encuentran formando ángulos de base $20^\circ,$ dando ápice $180^\circ - 2\cdot 20^\circ = 140^\circ,$ y por ángulos opuestos por el vértice ese es el ángulo opuesto del hexágono. Así que los seis ángulos alternan $100^\circ$ y $140^\circ.$ El más pequeño es $100^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Label the equilateral triangle $ABC.$ Each $60^\circ$ angle splits into three $20^\circ$ pieces. Take the outermost trisectors from $A$ and $B$ : they meet at base angles $\tfrac23 \cdot 60^\circ = 40^\circ,$ so the hexagon vertex there has angle $180^\circ - 2\cdot 40^\circ = 100^\circ.$ The innermost trisectors from $A$ and $B$ meet at base angles $20^\circ,$ giving apex $180^\circ - 2\cdot 20^\circ = 140^\circ,$ and by vertical angles that's the opposite hexagon angle. So the six angles alternate $100^\circ$ and $140^\circ.$ The smallest is $100^\circ.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años