Question

En un triángulo equilátero, cada ángulo interior es trisecado por un par de rayos. La intersección de los interiores del ángulo central de $20^\circ$ en cada vértice es el interior de un hexágono convexo. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo más pequeño de este hexágono?

In an equilateral triangle each interior angle is trisected by a pair of rays. The intersection of the interiors of the middle $20^\circ$ -angle at each vertex is the interior of a convex hexagon. What is the degree measure of the smallest angle of this hexagon?

$80$

$90$

$100$

$110$

$120$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cada ángulo de vértice de $60^\circ$ se divide en tres partes de $20^\circ$ ; considera los triángulos formados por los trisectores de dos vértices sobre un mismo lado.

Each $60^\circ$ vertex angle splits into three $20^\circ$ pieces; consider triangles formed by trisectors from two vertices on one side

Pista grande:

Usa la suma de los ángulos de un triángulo en las intersecciones, donde los pares de ángulos de base son $40^\circ,40^\circ$ y $20^\circ,20^\circ$

Use the triangle angle sum at the intersections with base-angle pairs $40^\circ,40^\circ$ and $20^\circ,20^\circ$

Solución:

Etiqueta el triángulo equilátero como $ABC.$ Cada ángulo de $60^\circ$ se divide en tres partes de $20^\circ$ . Toma los trisectores más externos desde $A$ y $B$ : se encuentran formando ángulos de base $\tfrac23 \cdot 60^\circ = 40^\circ,$ así que el vértice del hexágono ahí tiene ángulo $180^\circ - 2\cdot 40^\circ = 100^\circ.$ Los trisectores más internos desde $A$ y $B$ se encuentran formando ángulos de base $20^\circ,$ dando ápice $180^\circ - 2\cdot 20^\circ = 140^\circ,$ y por ángulos opuestos por el vértice ese es el ángulo opuesto del hexágono. Así que los seis ángulos alternan $100^\circ$ y $140^\circ.$ El más pequeño es $100^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Label the equilateral triangle $ABC.$ Each $60^\circ$ angle splits into three $20^\circ$ pieces. Take the outermost trisectors from $A$ and $B$ : they meet at base angles $\tfrac23 \cdot 60^\circ = 40^\circ,$ so the hexagon vertex there has angle $180^\circ - 2\cdot 40^\circ = 100^\circ.$ The innermost trisectors from $A$ and $B$ meet at base angles $20^\circ,$ giving apex $180^\circ - 2\cdot 20^\circ = 140^\circ,$ and by vertical angles that’s the opposite hexagon angle. So the six angles alternate $100^\circ$ and $140^\circ.$ The smallest is $100^\circ.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10A Problema 6

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años