Question

Sea $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ y $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ para $n \ge 1.$ ¿Cuántos términos de la sucesión $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_{2023}$ son pares?

Let $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ and $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ for $n \ge 1.$ How many terms in the sequence $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_{2023}$ are even?

$673$

$1011$

$675$

$1010$

$674$

Solución:

Sigue las paridades: $1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ van impar, impar, par, y luego se repiten con periodo $3.$ Así que $L_n$ es par exactamente cuando $3 \mid n.$ Entre $1 \le n \le 2023,$ eso son $\lfloor 2023/3 \rfloor = 674$ múltiplos de $3.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Track the parities: $1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ run odd, odd, even, then repeat with period $3.$ So $L_n$ is even exactly when $3 \mid n.$ Among $1 \le n \le 2023,$ that's $\lfloor 2023/3 \rfloor = 674$ multiples of $3.$ Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años