2024 AMC 10B Problema 7

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 7 del 2024 AMC 10B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:aritmética modular factorización exponente

Nivel de dificultad: 1250

¿Cuál es el residuo cuando $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ se divide entre $19$ ?

What is the remainder when $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ is divided by $19?$

$0$

$1$

$7$

$11$

$18$

Solución:

Saca la potencia común: $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ $= 7^{2024}(1 + 7 + 49)$ $= 7^{2024} \cdot 57.$ Y $57 = 3 \cdot 19,$ así que el producto es un múltiplo de $19.$ El residuo es $0.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Pull out the common power: $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ $= 7^{2024}(1 + 7 + 49)$ $= 7^{2024} \cdot 57.$ And $57 = 3 \cdot 19,$ so the product is a multiple of $19.$ The remainder is $0.$ Thus, A is the correct answer.

← Problema 6#6 Examen completo Problema 8#8 →

El Problema 7 en otros años

2000 AMC 10 · 2001 AMC 10 · 2002 AMC 10A · 2002 AMC 10B · 2003 AMC 10A · 2003 AMC 10B · 2004 AMC 10A · 2004 AMC 10B · 2005 AMC 10A · 2005 AMC 10B · 2006 AMC 10A · 2006 AMC 10B · 2007 AMC 10A · 2007 AMC 10B · 2008 AMC 10A · 2008 AMC 10B · 2009 AMC 10A · 2009 AMC 10B · 2010 AMC 10A · 2010 AMC 10B · 2011 AMC 10A · 2011 AMC 10B · 2012 AMC 10A · 2012 AMC 10B · 2013 AMC 10A · 2013 AMC 10B · 2014 AMC 10A · 2014 AMC 10B · 2015 AMC 10A · 2015 AMC 10B · 2016 AMC 10A · 2016 AMC 10B · 2017 AMC 10A · 2017 AMC 10B · 2018 AMC 10A · 2018 AMC 10B · 2019 AMC 10A · 2019 AMC 10B · 2020 AMC 10A · 2020 AMC 10B · 2021 AMC 10A Spring · 2021 AMC 10B Spring · 2021 AMC 10A Fall · 2021 AMC 10B Fall · 2022 AMC 10A · 2022 AMC 10B · 2023 AMC 10A · 2023 AMC 10B · 2024 AMC 10A · 2025 AMC 10A · 2025 AMC 10B