Question

En un plano, cuatro círculos de radios $1,3,5$ y $7$ son tangentes a la recta $\ell$ en el mismo punto $A$ , pero pueden estar a cualquiera de los dos lados de $\ell$ . La región $S$ consiste en todos los puntos que están dentro de exactamente uno de los cuatro círculos. ¿Cuál es el área máxima posible de la región $S$ ?

In a plane, four circles with radii $1,3,5,$ and $7$ are tangent to line $\ell$ at the same point $A,$ but they may be on either side of $\ell.$ Region $S$ consists of all the points that lie inside exactly one of the four circles. What is the maximum possible area of region $S?$

$24\pi$

$32\pi$

$64\pi$

$65\pi$

$84\pi$

Solución en video:

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Solución escrita:

Del mismo lado de $\ell$ , todos los círculos tangentes en $A$ están anidados. Para círculos anidados de radios $r_1>r_2>\cdots$ , los puntos dentro de exactamente uno de esos círculos tienen área $\pi(r_1^2-r_2^2)$ si hay al menos dos círculos; un tercer círculo anidado más pequeño no cuenta porque sus puntos están dentro de tres círculos, no de exactamente uno.

Para maximizar el área, coloca el círculo de radio $7$ solo en un lado y los círculos de radios $5,3,1$ en el otro lado. Esto da

$\begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta es D.

On one side of $\ell$ , circles tangent at $A$ are nested. For nested circles with radii $r_1>r_2>\cdots$ , the points inside exactly one of those circles have area $\pi(r_1^2-r_2^2)$ if there are at least two circles; a third smaller nested circle does not count because its points are inside three circles, not exactly one.

To maximize the area, put the circle of radius $7$ alone on one side, and put the circles of radii $5,3,1$ on the other side. This gives

$\begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring Problema 7

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 7 en otros años