Question

Se inscribe un círculo en un cuadrado, luego se inscribe un cuadrado en ese círculo y, por último, se inscribe un círculo en ese cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo menor y el área del cuadrado mayor?

A circle is inscribed in a square, then a square is inscribed in this circle, and finally, a circle is inscribed in this square. What is the ratio of the area of the smaller circle to the area of the larger square?

$\dfrac{\pi}{16}$

$\dfrac{\pi}{8}$

$\dfrac{3\pi}{16}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\pi}{2}$

Solución:

El círculo menor tiene radio $r,$ así que su área es $\pi r^2.$

El cuadrado menor, que circunscribe este círculo, tiene lado $2r,$ y su diagonal $2\sqrt2\,r$ es el diámetro del círculo mayor. Así, el círculo mayor tiene radio $\sqrt2\,r.$

El cuadrado mayor circunscribe el círculo mayor, así que tiene lado $2\sqrt2\,r$ y área $8r^2.$

La razón buscada es $\dfrac{\pi r^2}{8r^2} = \dfrac{\pi}{8}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the smaller circle have radius $r,$ so its area is $\pi r^2.$

The smaller square, which circumscribes this circle, has side $2r,$ and its diagonal $2\sqrt2\,r$ is the diameter of the larger circle. So the larger circle has radius $\sqrt2\,r.$

The larger square circumscribes the larger circle, so it has side $2\sqrt2\,r$ and area $8r^2.$

The desired ratio is $\dfrac{\pi r^2}{8r^2} = \dfrac{\pi}{8}.$

Thus, B is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años