Question

¿Cuál de los siguientes números es un cuadrado perfecto?

Which of the following numbers is a perfect square?

$\dfrac{14!15!}2$

$\dfrac{15!16!}2$

$\dfrac{16!17!}2$

$\dfrac{17!18!}2$

$\dfrac{18!19!}2$

Solución:

Observa que todas las opciones tienen la forma $\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.$ Como $(n!)^2$ es un cuadrado, necesitamos que $\dfrac{n + 1}{2}$ también lo sea.

Esto significa que $n + 1$ debe ser el doble de un cuadrado perfecto. La única opción es $n + 1 = 18,$ lo que nos da $n = 17.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that all of these answer choices are of the form $\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.$ We have that $(n!)^2$ is square, so we need $\dfrac{n + 1}{2}$ to be square as well.

This means that $n + 1$ must be twice a perfect square. The only choice we have is $n + 1 = 18,$ which gives us $n = 17.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años